Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

190 Ebenen im Raum 12 732. Bestimme die Parameterdarste ®® ung der Ebene e, die die drei Punkte A, B und C enthä ® t und bestimme jewei ® s einen vierten Punkt D in der Ebene. a)  e[A = (‒1 1 0 1 2), B = (3 1 1 1 ‒ 2), C = (0 1 1 1 ‒ 5)]   d)  e[A = (2 1 ‒1 1 3), B = (4 1 ‒1 1 ‒2), C = (2 1 ‒3 1 1)] b)  e[A = (1 1 0 1 0), B = (0 1 1 1 0), C = (0 1 0 1 1)]  e) e[A = (‒2 1 4 1 ‒3), B = (‒2 1 1 1 2), C = (1 1 1 1 ‒1)] c)  e[A = (1 1 0 1 2), B = (‒ 2 1 0 1 3), C = (4 1 0 1 ‒ 4)]  f)  e[A = (1 1 1 1 1), B = (‒1 1 1 1 1), C = (‒1 1 1 1 ‒1)] 733. Berechne jewei ® s drei Punkte auf der Ebene e, die auf einer Geraden  ® iegen. a) e: _ À X = 2 ‒ 4 2 1 3  + t ·   2 1 ‒ 2 ‒1 3  + s ·   2 ‒ 3 0 1 3 b) e: _ À X = 2 ‒ 4 5 4 3  + t ·   2 0 ‒1 ‒1 3  + s ·   2 3 1 3 3 734. Bestimme die Parameterform der Ebene e, in der der Punkt A und die Gerade g  ® iegen. a) e 4 A = (‒ 2 1 3 1 ‒ 2), g: X =   2 ‒1 0 2 3  + s ·   2 2 ‒1 3 3 5 b) e 4 A = (0 1 1 1 ‒1), g: X =   2 1 2 1 3  + s ·   2 3 1 ‒ 3 3 5 735. Die schneidenden Geraden g und h ® egen eine Ebene fest. Bestimme deren Parameterdarste ®® ung. a) e 4 g: X = 2 1 3 2 3  + s ·   2 1 2 ‒ 3 3 5  , h[A = (2 1 1 1 ‒1), B = (1 1 3 1 2)] b) e 4 g: X = 2 ‒1 3 0 3  + s ·   2 2 2 ‒ 3 3 5 , h: X = 2 1 5 ‒ 3 3  + s ·   2 1 4 ‒ 2 3 736. Bestimme die Parameterdarste ®® ung der Ebene e, die die beiden para ®® e ® en Geraden g und h enthä ® t. a) e 4 g: X = 2 ‒1 0 2 3  + s ·   2 2 ‒1 3 3 , h: X = 2 5 1 ‒ 4 3  + s ·   2 2 ‒1 3 3 5 b) e 4 g:X = 2 1 3 2 3  + s ·   2 1 2 ‒ 3 3 , h: X = 2 3 ‒ 3 2 3  + s ·   2 2 4 ‒ 6 3 5 737. Gib eine Parameterdarste ®® ung einer Ebene e mit fo ® genden Eigenschaften an. a)  x y-Ebene  b) para ®® e ®  zur xy-Ebene, enthä ® t P (0 1 0 1 3)  c) para ®® e ®  zur z-Achse 738. We ® che besondere Lage im Koordinatensystem hat die fo ® gende Ebene? a) e: _ À X = 2 0 0 0 3  + t ·   2 1 0 0 3  + s ·   2 0 0 1 3 b) e: _ À X = 2 1 2 0 3  + t ·   2 2 ‒ 2 0 3  + s ·   2 2 ‒1 0 3 c) e: _ À X = 2 2 0 0 3  + t ·   2 1 0 0 3  + s ·   2 0 0 1 3 739. Ste ®® e fest, ob der Punkt Z = (7 1 ‒ 5 1 1) auf e:   _ À X = 2 ‒ 4 2 0 3  + t ·   2 7 ‒ 3 ‒ 3 3  + s ·   2 1 ‒1 1 3 ® iegt. Wenn Z auf e  ® iegt, muss es Parameter s und t geben, die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: 2 7 ‒ 5 1 3 = 2 ‒ 4 2 0 3  + t ·   2 7 ‒ 3 ‒ 3 3  + s ·   2 1 ‒1 1 3 Man berechnet aus der ersten und zweiten Zei ® e die passenden Parameter s und t und  kontro ®® iert dann, ob die dritte Zei ® e auch erfü ®® t wird. 7 = ‒ 4 + 7 t + s  w  s = 4; t = 1 in 3. Zei ® e einsetzen: 1 = 0 – 3 + 4 w. A.  w  Z  * e ‒ 5 = 2 – 3t – s 740. Überprüfe, ob die gegebenen Punkte P, Q und R auf der Ebene e  ® iegen. e: _ À X = 2 ‒ 3 1 ‒1 3  + t ·   2 0 3 3 3  + s ·   2 1 ‒1 1 3  ; P = (‒ 3 1 1 1 ‒1), Q = (‒1 1 2 1 4), R = (‒ 3 1 16 1 10) Techno ® ogie An ® eitung s3j6p5 muster Nur 0 zu Prüfzwecken – Eigentum 0 ‒ ‒ des Verlags öbv