Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 191 kompe- tenzen 12.2 Parameterfreie Darste ®® ung einer Ebene Lernzie ® e: º Die parameterfreie Darste ®® ung einer Ebenen kennen, aufste ®® en und interpretieren können (AG-L 3.9) º Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Darste ®® ungsformen von Ebenen umwande ® n können º Schnittwinke ® zwischen Gerade und Ebene bestimmen können Es ist anschau ® ich einsichtig, dass eine Ebene e durch einen Punkt P und einen Norma ® vektor _ À n der Ebene festge ® egt ist. Ist X ein Punkt der Ebene, so steht der Vektor   _ À PX norma ® auf _ À n. Daraus fo ® gt, dass das Ska ® arprodukt der Vektoren _ À PX  und _ À n g ® eich nu ®® ist. Formu ® iert man diese Einsichten mit Hi ® fe der Sprache der Mathematik, so führt das zu einer neuen G ® eichungsform für die Ebene e: _ À n © _ À PX É _ À n · _ À PX = 0 É _ À n · (X – P) = 0 É _ À n · X =   _ À n · P ( Norma ® vektorform der Ebene  e)  Durch Ausmu ® tip ® izieren der beiden Ska ® arprodukte erhä ® t man die parameterfreie Form der Ebene e. Norma ® vektordarste ®® ung einer Ebene e e: _ À n · X =   _ À n · P;   X, P  * e, _ À n © e Führt man die Ska ® armu ® tip ® ikation aus, so erhä ® t man die parameterfreie Darste ®® ung der Ebene e: e: a x + b y + c z = d wobei 2 a b c 3 ein Norma ® vektor der Ebene ist. 741. Berechne die parameterfreie Darste ®® ung der Ebene e. e: _ À X = 2 2 ‒ 3 ‒1 3  + t ·   2 ‒1 3 1 3  + s ·   2 1 0 2 3 Zur Berechnung der parameterfreien Form von e benötigen wir einen Punkt und einen  Norma ® vektor der Ebene: P = (2 1 ‒ 3 1 ‒1)   _ À n = 2 ‒1 3 1 3 × 2 1 0 2 3 = 2 6 3 ‒ 3 3 u 2 2 1 ‒1 3 Nun bi ® det man mit _ À n und P die Norma ® vektorform der Ebene und berechnet die parameter- freie Form durch Ausmu ® tip ® izieren der Ska ® arprodukte. 2 2 1 ‒1 3  ·   2 x y z 3 = 2 2 1 ‒1 3  ·   2 2 ‒ 3 ‒1 3 (Norma ® vektorform der Ebene e), w  2 x + y‒ z = 2   (parameterfreie Form von e) 742. Bestimme die Norma ® vektorform und die parameterfreie Darste ®® ung der durch drei Punkte  festge ® egten Ebene e. a)  A = (1 1 2 1 0),B = (2 1 ‒1 1 1), C = (0 1 ‒1 1 ‒1)  c)  A = (0 1 0 1 0), B = (2 1 ‒ 5 1 1), C = (‒1 1 ‒ 2 1 3) b) A = (2 1 ‒1 1 5), B = (‒ 2 1 ‒ 3 1 1), C = (1 1 2 1 3)  d) A = (2 1 ‒1 1 ‒ 3), B = (‒ 6 1 5 1 ‒ 4), C = (1 1 4 1 0) e P X 1 PX 1 X 2 PX 2 90° _ À n muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum x des Verlags öbv