Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 193 kompe- tenzen 12.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Lernzie ® e: º Die Lagebeziehungen einer Gerade und Ebene ermitte ® n können º Schnittpunkte von Gerade und Ebene ermitte ® n können º Geometrische Aufgaben mit Hi ® fe der Vektorrechnung ® ösen können Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Zwischen Gerade und Ebene gibt es im Raum drei mög ® iche Lagebeziehungen: Die Gerade g ® iegt para ®® e ® zur Ebene e. g und e haben keinen gemein- samen Schnittpunkt. Die Gerade g ® iegt in der Ebene e. g und e haben a ®® e Punkte der Geraden g gemeinsam. Die Gerade g schneidet die Ebene e. g und e haben einen gemein- samen Schnittpunkt S. g ° e = { } g ° e = {g} g ° e = {S} Im Fo ® genden wird gezeigt, wie die Lagebeziehung (und gegebenenfa ®® s der Schnittpunkt)  zwischen der Ebene e: X = 2 2 1 2 3  + s ·   2 1 2 0 3  + t ·   2 0 3 1 3 und den Geraden g 1 , g 2 und g 3 rechnerisch be- stimmt wird. g 1 : X = 2 1 1 1 3 + u · 2 1 2 0 3 g 2 : X = 2 0 0 3 3 + u · 2 1 2 0 3 g 3 : X = 2 ‒1 0 1 3 + u · 2 1 1 1 3 Die Rechnungen sind einfacher, wenn die Ebene e in parameterfreier Form dargeste ®® t wird. e: X = 2 2 1 2 3 + s · 2 1 2 0 3 + t · 2 0 3 1 3 w e: 2 x – y + 3 z = 9 A ® s nächsten Schritt versucht man, die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmen. Dazu setzt man die Koordinaten der Geraden g in die parameterfreie Form der Ebene e ein und ® öst die so erha ® tene G ® eichung. x = 1 + u g 1 : y = 1 + 2 u z = 1 2 (1 + u) – (1 + 2 u) + 3 · (1) = 9 w 4 = 9 Widerspruch x = 0 + u g 2 : y = 0 + 2 u z = 3 2(u) – (2 u) + 3 · (3) = 9 w 9 = 9 wahre Aussage x = ‒1 + u g 3 : y = u z = 1 + u 2 (‒1 + u) – (u) + 3 (1 + u) = 9 w u = 2 S = 2 ‒1 0 1 3 + 2 ·  2 1 1 1 3 = 2 1 2 3 3 w S = (1 1 2 1 3) e und g 1 haben keinen Schnittpunkt: g 1 ° e = { }. Die Gerade g 1 ist para ®® e ® zur Ebene e. g 2 und e haben unend ® ich vie ® e Schnittpunkte: g 2 ° e = g Die Gerade g 2 ® iegt in der Ebene e. g 3 und e haben einen gemeinsamen Punkt: g 3 ° e = {S} Die Gerade g 3 und die Ebene e sind schneidend. e g e g e g S Nur zu Prüfzwecken 2 – Eigentum des Verlags öbv