Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

195 kompe- tenzen 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – ® ineare G ® eichungssysteme Lernzie ® e: º Lagebeziehungen von Ebenen zueinander ermitte ® n können º Schnittgerade von Ebenen ermitte ® n können º Geometrische Aufgaben mit Hi ® fe der Vektorrechnung ® ösen können º Lineare G ® eichungssysteme in drei Variab ® en ® ösen können (AG-L 2.7) Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen Es gibt drei Lagebeziehungen, die zwei Ebenen eingehen können: identisch para ®® e ® schneidend e 2 e 1 e 2 e 1 e 1 n e 2 n e 2 e 1 n e 2 n e 1 e 1 : 2 x – 3 y + z = 1 e 2 : 4 x – 6 y + 2 z = 2 Man kann erkennen, dass die beiden Ebeneng ® eichungen äquiva ® ent sind. Die G ® eichung von e 2 ist genau das Doppe ® te der G ® eichung von e 1 . e 1 und e 2 sind a ® so identisch . e 1 : 2 x – 3 y + z = 2 e 2 : 4 x – 6 y + 2 z = 2 Die G ® eichungen sind nicht äquiva ® ent, aber die beiden Norma ® vektoren sind para ®® e ® : 2 2 ‒ 3 1 3 u 2 4 ‒ 6 2 3 e 1 und e 2 sind a ® so para ®® e ® . e 1 : 2 x – 3 y + z = 2 e 2 : 4 x – 6 y + z = 2 Die G ® eichungen sind nicht äquiva ® ent, die Norma ® vektoren sind nicht para ®® e ® : 2 2 ‒ 3 1 3 û 2 4 ‒ 6 1 3 e 1 und e 2 sind a ® so schneidend . 758. Bestimme die Lagebeziehung fo ® gender Ebenen e und d. a)  e: 2 x – 3 y + 4 z = 2 d: 2 x – 3 y + 4 z = 4  c)  e: x – y + 2 z = 2  d: 2 x – 4 y + 4 z = 4 b)  e: x – y + 3 z = 1  d: ‒ x + y – 3 z = ‒1  d)  e: 2 x + y = 1  d: 4 x + 2 y = 1 759. Gegeben ist die Ebene e: x – 2 y + 2 z = 4. Bestimme, wenn mög ® ich, den Parameter k der  Ebene f so, dass diese die ver ® angte Eigenschaft aufweist. a)  f: 3 x + k y + 6 z = 8  f identisch mit e  c)  f: k – 2 y + 2 z = 4   f schneidend mit e b)  f: ‒ x + 2 y – 2 z = k  f para ®® e ® zu e d) f: x – 2 y – k z = 8 f identisch mit e 760. Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1 : x + 2 y – z = 2 und e 2 : 2 x – y + z = 2 und gegebenenfa ®® s die G ® eichung der Schnittgeraden g. Da die Norma ® vektoren 2 1 2 ‒1 3 und 2 2 ‒1 1 3 der beiden Ebenen nicht para ®® e ® sind, hande ® t es sich um einander schneidende Ebenen. Um die G ® eichung der Schnittgeraden zu ermitte ® n, ® öst man zunächst das G ® eichungssystem I: x + 2 y – z = 2 II: 2 x – y + z = 2. Dazu be ® egt man die x-Koordinate mit dem Parameter t und berechnet danach mit dem E ® iminationsverfahren y und z: I: 2 y – z = 2 – t II: ‒ y + z = 2 – 2 t w x = t y = 4 – 3 t z = 6 – 5 t w 2 x y z 3 = 2 0 4 6 3  + t ·   2 1 ‒ 3 ‒ 5 3  Parameterform der Schnittgeraden g Techno ® ogie An ® eitung dj8u6e muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des ‒ Verlags öbv