Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

196 Ebenen im Raum 12 761. Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1 und e 2 und gegebenenfa ®® s die G ® eichung der Schnittgeraden g. a) e 1 : x – 3 y + 2 z = 1 e 2 : x – y + 2 z = 5 c) e 1 : 2 x – y + z = 0 e 2 : 2 x – 4 y + 4 z = 0 b) e 1 : x – y + z = ‒1 e 2 : x + 2 y – 3 z = 0 d) e 1 : ‒ 2 x + y = 1 e 2 : ‒ 4 x + 3 y = 1 762. Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen e 1 und e 2 und gegebenenfa ®® s die G ® eichung der Schnittgeraden g. a) e 1 : X = 2 2 1 3 3  + s ·   2 0 0 3 3  + t ·   2 1 3 2 3 e 2 : X = 2 2 1 3 3  + s ·   2 1 0 1 3  + t ·   2 0 1 0 3 b) e 1 : X = 2 4 ‒1 0 3  + s ·   2 1 1 1 3  + t ·   2 2 1 0 3 e 2 : X = 2 7 1 1 3  + s ·   2 1 ‒1 2 3  + t ·   2 2 3 ‒ 4 3 c) e 1 : X = 2 1 1 1 3  + s ·   2 1 2 3 3  + t ·   2 ‒1 0 2 3 e 2 : X = 2 2 1 3 3  + s ·   2 0 2 5 3  + t ·   2 ‒ 2 0 4 3 d) e 1 : X = 2 ‒ 2 3 5 3  + s ·   2 ‒1 0 2 3  + t ·   2 0 ‒ 2 3 3 e 2 : X = 2 ‒ 3 1 10 3  + s ·   2 ‒1 ‒ 2 5 3  + t ·   2 ‒1 ‒ 4 8 3 Bringe die Ebenen zuerst auf die parameterfreie Form. 763. Überprüfe ohne Berechnung der Schnittgeraden, ob die gegebene Gerade g die Schnitt- gerade der Ebenen a und b ist. a)  a: 2 x – y + 2 z = 4 b: x – y = 2 g: X =   2 1 0 1 3  + s ·   2 3 2 ‒ 2 3 b) a: x = 2 b: z = 3 g: X = 2 2 0 3 3  + s ·   2 0 ‒1 0 3 764. Gegeben sind die Ebene e: ‒ x + 2 y + 5 z = ‒ 3 und der Punkt P = (1 1 2 1 3). Gib die G ® eichung einer Ebene f mit fo ® genden Eigenschaften an. a) f u  e; P  * f b)  schneidend zu e, P  * f c) f ©  e; P  * f d) f ©  e, P  * f; Q = (0 1 0 1 1)  * f Lineare G ® eichungssysteme mit drei Variab ® en Da die parameterfreie Darste ®® ung von Ebenen die Variab ® en x, y und z besitzt, führt die Unter- suchung von Lagebeziehungen zwischen Ebenen auf G ® eichungssysteme mit drei Variab ® en. Ein G ® eichungssystem aus 3 G ® eichungen mit 3 Variab ® en wird fo ® gendermaßen ge ® öst. Schritt 1: Ordne die drei G ® eichungen so an, dass g ® eiche Variab ® e untereinander stehen I: 2 x – y + 3 z = 9 II: x + 2 y – 2 z = ‒1 III: ‒ 5 x + 3 y – 3 z = ‒ 8 Schritt 2: Vereinfache das System auf 2 G ® eichungen mit 2 Variab ® en – e ® iminiere eine Variab ® e E ® iminationsverfahren anwenden: I + III = ‒ 3 x + 2 y = 1 2 · I + 3 · II = 7x + 4 y = 15 Schritt 3: Löse das vereinfachte G ® eichungssystem aus 2 G ® eichungen mit 2 Variab ® en und bestimme den Wert a ®® er Variab ® en. ‒ 3 x + 2 y = 1 7x + 4 y = 15 13 x = 13 w x = 1; y = 2 Setzt man nun x = 1 und y = 2 in die ursprüng ® ichen G ® eichungen ein, so erhä ® t man den Wert der Variab ® en z: I: 2 ·1 – 2 + 3 z = 9 w z = 3 Die Lösung besteht aus einem Zah ® entripe ® : L = {(1 | 2 | 3)} TIPP Nur zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum des Verlags öbv