Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

198 Ebenen im Raum 12 769. Untersuche die Lagebeziehung der drei Ebenen. e 1 : x – y + z = 1 e 2 : 2 x – 3 y + 2 z = 1 e 3 : ‒ x + y – z = 1 Man erkennt, dass die Ebenen e 1 und e 3 zueinander para ®® e ® sind. e 2 ist weder para ®® e ® zu den Ebenen e 1 und e 3 noch identisch mit ihnen, a ® so schneidet e 2 die anderen Ebenen. Die drei Ebenen ® iegen a ® so wie in Abbi ® dung 4 dargeste ®® t. 770. Gegeben sind 5 Ebenen: e 1 : x – y + z = 1; e 2 : 2 x – 2 y + 2 z = 2; e 3 : ‒ x + y – z = 1; e 4 : x – y – z = 1; e 5 : ‒ 2 x + 2 y – 2 z = ‒ 2 Trage die Nummer der Darste ®® ung von Seite 197 ein, die der Lagebeziehung der angege- benen Ebenen entspricht. A B C D E e 1 , e 2 , e 3 e 1 , e 2 , e 4 e 1 , e 2 , e 5 e 2 , e 3 , e 4 e 2 , e 3 , e 5 771. Bestimme a, b, c, d, e und f so, dass die drei Ebenen 1) para ®® e ® 2) identisch sind. e 1 : a x – 2 y + z = 2; e 2 : 2 x – b y + 2 z = c; e 3 : d x – 6 y + e z = f; In den Fä ®® en 6) bis 8), in denen es keine para ®® e ® en oder identischen Ebenen gibt, muss man die Lagebeziehung (und etwaige Schnittgeraden oder Schnittpunkte) rechnerisch  durch Lösung des entsprechenden G ® eichungssystems ermitte ® n. 772. Bestimme die Lagebeziehung und gegebenenfa ®® s den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen. a) e 1 : 3 x + y – z = 1, e 2 : 2 x – y + 2 z = 3, e 3 : 8 x + y = 2 b) e 1 : 3 x + y – z = 1, e 2 : 2 x – y + 2 z = 5, e 3 : 8 x + y = 7 a) Da es keine identischen oder para ®® e ® e Ebenen gibt, muss das G ® eichungssystem ge ® öst werden: I: 3 x + y – z = 1 II: 2 x – y + 2 z = 3 III: 8 x + y = 2 w 2 · I + II: 8 x + y = 5 III: 8 x + y = 2 w 0 = 3 w Widerspruch Das G ® eichungssystem hat keine Lösung. Es gibt a ® so keine gemeinsamen Punkte. Die Ebenen ® iegen a ® so wie in Abbi ® dung 8 dargeste ®® t. b) Es wird ein G ® eichungssystem aufgeste ®® t und ge ® öst: I: 3 x + y – z = 1 II: 2 x – y + 2 z = 5 III:8 x + y = 7 w 2 · I + II: 8 x + y = 7 III: 8 x + y = 7 w 0 = 0 w Identität Es gibt unend ® iche vie ® e Lösungen. Die drei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Sie ® iegen a ® so wie in Abbi ® dung 7 dargeste ®® t. Um die Schnittgerade zu ermitte ® n bestimmt man die Schnittgerade von zwei der drei Ebenen und erhä ® t: g: X = 2 0 7 6 3  + t ·   2 1 ‒ 8 ‒ 5 3 773. Bestimme den Schnittpunkt der drei Ebenen a, b und c. a) a: x – y + z = 1 b) a: 2 x + 3 z = 10 c) a: x – 2 y + z = ‒ 2 d) a: x = 2 e) a: 2 x – y = 3 b: 2 x – y – z = 0 b: ‒ 3 y – z = ‒ 3 b: ‒ 3 x + 5 y – 3 z = 2  b: y = ‒ 3 b: 2 y + z = 9 c: x – y = 0 c: 4 x – 3 z = ‒ 3 c: 2 x – y + z = 3 c: z = 0 c: x + z = 6 muster muster Arbeitsb ® att z3pq7c Nur I zu Prüfzwecken – Eigentum I des Verlags öbv