Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie Merke 199 Ebenen im Raum | Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 774. Bestimme, ob sich die drei Ebenen a, b und c in einem gemeinsamen Punkt, in einer gemein- samen Geraden oder in einer gemeinsamen Ebene schneiden und bestimme gegebenenfa ®® s Schnittpunkt, Schnittgerade oder Schnittebene. a) a: x – y + z = 3 b) a: 2 x + y – 3 z = 1 c) a: x + y + z = 2 d) a: x – 2 y + 3 z = 2  b: 2 x + y – z = 0   b: ‒ 4 x – 2 y + 6 z = ‒ 2 b: x – 3 y-z = ‒ 3   b: ‒ x + 3 y – z = 2  c: 3 x = 3     c: 4 x + 2 y – 6 z = 2  c: 2 x – 2 y = ‒1   c: 2 x – 5 y + 4 z = 0 775. Die Ebenen a, b und c haben keine gemeinsamen Punkte. Bestimme die Lagebeziehung ohne  Berechnung. a) a: x – y + z = 3 b) a: x + 3 y – 2 z = 1 c) a: x + y + z = 2 d) a: x – 2 y + 3 z = 0  b: ‒ x + y – z = 3   b: x + 3 y – 2 z = ‒1  b: x + y + z = ‒ 3   b: ‒ x + 3 y – z = 0  c: x – y + z = 3   c: ‒ 2 x – 6 y + 4 z = 3  c: x – 3 y = ‒1   c: 2 x – 5 y + 4 z = 2 Winke ® zwischen Ebenen Schnittwinke ® α zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinke ® zwischen zwei Ebenen ist g ® eich dem Winke ® zwischen den beiden Norma ® vektoren der Ebenen. 776. Bestimme den Winke ® , den die beiden Ebenen a und b einsch ® ießen. a: x – 3 y = 4  b: ‒ x + 2 y – z = 0 Man berechnet den Winke ® zwischen den beiden Norma ® vektoren n a = 2 1 ‒ 3 0 3 und n b = 2 ‒1 2 ‒1 3 . cos( α ) =   2 1 ‒ 3 0 3  ·   2 ‒1 2 ‒1 3 __ | 2 1 ‒ 3 0 3  ·   2 ‒1 2 ‒1 3 | = ‒7 _ 9 __ 10 ·   9 _ 6   ≈ ‒ 0,90  w α  ≈ 154,65° Da es üb ® ich ist, den k ® eineren Winke ® zwischen den Ebenen a ® s Schnittwinke ® anzugeben, ergibt sich für den Schnittwinke ® der Wert 180° – 154,65° ≈  25,35° . 777. Bestimme den Schnittwinke ® zwischen den Ebenen a und b. a)  a: x – y + 5 z = 2  b: ‒ 3 x + 2 y – z = 5  c)  a: x – z = 3  b: ‒ x + y = 12 b)  a: ‒ x + y – 4 z = 1  b: ‒ 2 x + 2 y – 8 z = 2  d) a: z = 0 b: x = 5 Winke ® zwischen zwei Ebenen bestimmen Geogebra: Winke ® [<Ebene>, <Ebene>] Beispie ® : Winke ® [2 x – y + z = 1, x + y – 5 z = 3] α = 108,32° muster n a b a n b α α Techno ® ogie An ® eitung xt9vf8 Nur zu ‒ Prüfzwecken ‒ – Eigentum des Verlags öbv