Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

200 kompe- tenzen 12.5 Abstandsberechnungen Lernzie ® e: º Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen können º Abstand zwischen Ebene und para ®® e ® er Gerade bestimmen können º Abstand zwischen zwei Geraden bestimmen können º Abstand zwischen zwei Ebenen bestimmen können Der Abstand zweier Objekte im R 3 ist immer a ® s der k ® einste Abstand (= Norma ® abstand)  zwischen diesen beiden Objekten definiert. Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen Wenn man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen wi ®® , geht man fo ® gendermaßen vor: Aufgabe : Bestimme den Abstand d zwischen P und e P = (‒1 1 3 1 ‒ 2) e: 2 x – y + 3 z = 3 90° P Normalabstand d e Vorgehensweise: Mit Hi ® fe des Norma ® vektors _ À n von e ste ®® t man eine norma ® e Gerade g durch den Punkt P auf. Dann schneidet man g und e um den Schnittpunkt S zu erha ® ten. _ SP ist der Abstand d. e S SP = d P n n g Schritt 1: Man bestimmt den Norma ® vektor von e. _ À n = 2 2 ‒1 3 3 Schritt 2: Man bestimmt die Gerade g, die norma ® auf e steht und durch den Punkt P geht. g: X = 2 ‒1 3 ‒ 2 3 + s · 2 2 ‒1 3 3 Schritt 3: Man berechnet den Schnitt- punkt S der Geraden g mit der Ebene e. 2 (‒1 + 2 s) – (3 – s) + 3 (‒ 2 + 3 s) = 3 w s = 1 w S = (1 1 2 1 1) Schritt 4: Man berechnet die Strecke _ SP. d = | _ À SP | = 9 __ 14 … Abstand P von e 778. Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene e. a)  a: ‒ 2 x + 3 y – z = 5, P = (‒ 3 1 4 1 ‒1)  d)  a: ‒ x = 1, P = (‒ 2 1 2 1 3)  b)  a: ‒ 3 x + y – z = 0, P = (0 1 1 1 1)  e)  a: x + y = 5, P = (0 1 1 1 4)  c)  a: ‒ x – 2 y – 2 z = 1, P = (‒7 1 ‒ 3 1 ‒ 3)  f)  a: 3 x + y – 3 z = 15, P = (5 1 15 1 5) 779. A, B und C sind die Eckpunkte der Grundf ® äche eines Tetraeders mit der Spitze S. Bestimme die Höhe und das Vo ® umen des Tetraeders. a)  A = (‒1 1 2 1 3), B = (‒ 3 1 ‒ 5 1 1), C = (‒ 3 1 ‒ 2 1 ‒1), S = (3 1 6 1 9) b) A = (1 1 ‒ 4 1 2), B = (4 1 ‒1 1 1), C = (‒ 5 1 2 1 ‒ 3), S = (‒ 3 1 2 1 1) c)  A = (1 1 2 1 0), B = (4 1 ‒ 5 1 0), C = (2 1 ‒ 2 1 0), S = (0 1 ‒ 3 1 6) Techno ® ogie An ® eitung 2nf6nb A S C B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv