Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

201 Ebenen im Raum | Abstandsberechnungen 780. Ein Gegenstand f ® iegt ent ® ang der Geraden g: X = 2 3 5 7 3  + t ·   2 ‒ 2 ‒1 ‒1 3  auf die xy-Ebene zu, wobei der  Parameter t * R die F ® ugdauer in Sekunden angibt. Die Einheit der Koordinaten ist ein Meter. a) Berechne die Höhe des Gegenstandes über der xy-Ebene nach drei Sekunden. b) In we ® cher Höhe über der xy-Ebene startet der F ® ug? c) Nach wievie ® Sekunden trifft der Gegenstand am Boden (xy-Ebene) auf? 781. Der Punkt A  ® iegt in der Grundf ® äche eines Würfe ® s. Die Punkte B, C und D  ® iegen in dessen Deckf ® äche. Bestimme die Kanten ® änge des Würfe ® s. A = (2 1 ‒ 3 1 0), B = (1 1 3 1 5); C = (‒ 3 1 3 1 5); D = (‒ 9 1 3 1 5) Abstand zwischen Ebene und para ®® e ® er Gerade bestimmen Um diesen Abstand zu ermitte ® n, bestimmt man zuerst einen be ® iebigen Punkt P der Geraden g und berechnet  danach (wie im vorhergehenden Abschnitt erk ® ärt) den  Abstand dieses Punktes von der Ebene. 782. Bestimme den Abstand der Geraden g von der Ebene e. a)  e: ‒ x + 4 y – 2 z = 2 g: X =   2 ‒1 1 2 3  + s ·   2 0 1 2 3 c) e: x + y – 3 z = 9 g: X = 2 1 2 ‒ 2 3  + s ·   2 5 4 3 3 b)  e: ‒ 2 x – y + 3 z = 5 g: X =   2 3 ‒1 5 3  + s ·   2 ‒ 2 ‒ 5 ‒ 3 3 d)  e: ‒ x – 3 y + 4 z = 5 g: X =   2 3 ‒1 5 3  + s ·   2 1 1 1 3 Abstand zwischen zwei para ®® e ® en Ebenen bestimmen Um diesen Abstand zu ermitte ® n, bestimmt man zuerst einen be ® iebigen Punkt P einer Ebene und berechnet danach den  Abstand dieses Punktes von der anderen Ebene. 783. Bestimme den Abstand der Ebene p von der Ebene f. a) p: x – y + 2 z = 1 f: x – y + 2 z = 7 d) p: x + y = 1 f: x + y = 4 b) p: 2 x – 3 y + z = 2 f: 2 x – 3 y + z = 7 e)  p: x = 4  f: x = ‒ 3 c)  p: ‒ x + 2 y – 3 z = ‒ 3  f: ‒ x + 2 y – 3 z = ‒17  f)  p: x – z = 1  f: ‒ 2 x + 2 z = ‒ 2 784. Bestimme den Abstand der Ebene a von der Ebene b. a) a: X = 2 1 ‒1 3 3  + s ·   2 0 ‒1 2 3  + t ·   2 1 0 3 3 b: X = 2 2 1 3 3  + u ·   2 2 3 0 3  + v ·   2 1 0 3 3 b)  a: [A = (‒1 1 2 1 3), B = (‒ 3 1 2 1 1), C = (‒ 3 1 2 1 ‒1)], b: [A = (0 1 5 1 ‒ 3), B = (‒ 3 1 5 1 2), C = (‒ 3 1 5 1 0)] c) a: X = 2 ‒ 3 2 1 3  + s ·   2 0 3 5 3  + t ·   2 ‒ 3 0 1 3 b: X = 2 ‒ 6 5 7 3  + u ·   2 0 6 10 3  + v ·   2 ‒ 3 0 1 3 785. Bestimme den Abstand der Ebenen s und t ohne Berechnung. a) s: x = 0 t: x = 5 b)  s: [A = (‒1 1 3 1 0), B = (4 1 1 1 0), C = (0 1 0 1 0)], s:[A = (0 1 0 1 ‒ 3), B = (‒ 3 1 5 1 ‒ 3), C = (‒ 3 1 5 1 ‒ 3)] c)  s: 2 x – 3 y + z = 1  t: 4 x – 6 y + 2 z = 2 A B D C e P Normal- g abstand Normalabstand P der beiden Ebenen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv