Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie 202 Ebenen im Raum 12 Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Aufgabe: Bestimme den Abstand d zwischen P und g. P = (‒ 3 1 0 1 2) g: X = 2 ‒ 4 3 3 3 + s · 2 ‒ 2 1 0 3 P g Richtungsvektor von g Vorgehensweise: Mit Hi ® fe des Richtungsvektors von g ste ®® t man eine auf g norma ® e Hi ® fsebene e durch den Punkt P auf. Dann schneidet man g und e um den Schnittpunkt S zu erha ® ten. Der Abstand SP ist der Abstand d. P 90° Gerade g Hilfsebene e Normalvektor von e Normalabstand Punkt-Gerade S Schritt 1: Man ste ®® t eine auf g norma ® e Hi ® fseben e auf. e: 2 ‒ 2 1 0 3 2 x y z 3 = 2 ‒ 2 1 0 3 2 ‒ 3 0 2 3 w e: ‒ 2 x + y = 6 Schritt 2: Man bestimmt den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hi ® fsebene e. ‒ 2 (‒ 4 – 2 s) + (3 + s) = 6 w s = ‒1 w S = (‒ 2 1 2 1 3) Schritt 3: Man berechnet die Strecke _ SP. d = | _ À SP | = 9 _ 6 Abstand P von g 786. Bestimme den Abstand des Punktes A von der Geraden h. a)  A = (0 1 2 1 1) g: X =   2 ‒1 3 2 3  + s ·   2 1 ‒1 2 3 b) A = (‒ 6 1 3 1 1) g: X =   2 ‒1 1 2 3  + s ·   2 0 1 2 3 Abstand Punkt-Gerade Geogebra: Abstand[<Punkt>, <Objekt>] Beispie ® : Abstand[(1, 2, 3), X = (2, 1, 2) + λ (0, 0, 1)] d = 1,41 787. A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme die Höhen  1) h a 2) h b 3) h c . a)  A = (‒1 1 3 1 3), B = (‒ 4 1 ‒ 5 1 1), C = (‒ 3 1 0 1 ‒1)  c)  A = (5 1 1 1 5), B = (4 1 ‒ 5 1 ‒ 3), C = (‒ 2 1 ‒1 1 2) b) A = (0 1 0 1 ‒ 4), B = (‒ 2 1 0 1 8), C = (‒ 3 1 ‒ 2 1 ‒1)  d) A = (‒1 1 ‒1 1 2), B = (1 1 ‒ 5 1 1), C = (1 1 ‒ 3 1 0) 788. Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g und spieg ® e ihn an der Geraden g. a)  P = (‒ 4 1 7 1 1); g: X =   2 ‒1 3 2 3  + s ·   2 1 ‒1 2 3 c)  P = (‒ 4 1 5 1 ‒1); g: X =   2 1 ‒ 3 5 3  + s ·   2 2 ‒ 3 2 3 b) P = (‒ 3 1 8 1 2); g: X =   2 ‒ 3 8 2 3  + s ·   2 12 ‒ 5 6 3 d) P = (‒ 4 1 0 1 1); g: X =   2 ‒ 2 1 0 3  + s ·   2 4 0 1 3 Abstand zwischen zwei para ®® e ® en Geraden bestimmen Wenn man die Koordinaten eines Punktes P auf h  bestimmt, so ® ässt sich der Abstand ana ® og zum  Abstand eines Punktes P von einer Geraden g  bestimmen. Techno ® ogie An ® eitung fi7e64 90° g Abstand der Geraden h Nur zu Prüfzwecken x ‒ – Eigentum des Verlags öbv