Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie 203 Ebenen im Raum | Abstandsberechnungen 789. Bestimme den Abstand der beiden para ®® e ® en Geraden g und h. a) g: X = 2 ‒1 1 2 3  + s ·   2 ‒1 1 3 3 h: X = 2 0 1 ‒ 2 3  + s ·   2 ‒1 1 3 3 c) g: X = 2 ‒ 3 1 4 3  + s ·   2 1 0 0 3 h: X = 2 ‒ 4 2 ‒1 3  + s ·   2 ‒ 3 0 0 3 b) g: X = 2 ‒1 3 ‒ 2 3  + s ·   2 2 ‒1 2 3 h: X = 2 ‒ 2 1 ‒ 2 3  + s ·   2 ‒ 2 1 ‒ 2 3 d) g: X = 2 1 2 ‒ 3 3  + s ·   2 ‒1 0 ‒ 2 3 h: X = 2 0 2 ‒ 5 3  + s ·   2 ‒1 0 ‒ 2 3 Abstand Gerade-Gerade Geogebra: Abstand[<Gerade>, <Gerade>] Beispie ® : Abstand[X = (1, 2, 3) + λ (2, 1, 4), X = (1, 3, 3) + µ (2, 1, 4)] d = 0,98 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden Der Abstand zweier Geraden im R 3 ist immer a ® s der k ® einste Abstand (= Norma ® abstand)  zwischen diesen beiden Geraden definiert. Aufgabe: Bestimme den Abstand zwischen den windschiefen Geraden g und h. g: X = 2 0 3 6 3 + s · 2 2 2 5 3 h: X = 2 ‒1 6 ‒1 3 + t · 2 ‒ 2 3 0 3 h g Abstand zwischen g und h Taktik: Mit Hi ® fe der Richtungsvektoren von g und h bestimmt man einen Norma ® vektor der Ebene e, die g enthä ® t und para ®® e ® zu h ® iegt. Der Abstand eines be ® iebigen Punktes P der Geraden h von e ist der gesuchte Abstand d. h Hilfsebene e P Abstand g–h g Schritt 1: Man bestimmt den Norma ® vektor n und ste ®® t die Hi ® fsebene e auf, die g enthä ® t. n = 2 2 2 5 3 × 2 ‒ 2 3 0 3 = 2 ‒15 ‒10 10 3 u 2 3 2 ‒ 2 3 e: 3 x + 2 y – 2 z = ‒ 6 Schritt 2: Nun wäh ® t man einen Punkt P der Geraden h und bestimmt dessen Abstand von der Ebene e. (siehe Seite 200) Der Abstand zwischen P = (‒1 1 6 1 ‒1) auf h und e beträgt 9 __ 17 790. Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden. a) g: X = 2 ‒1 1 2 3  + s ·   2 ‒1 1 3 3 h: X = 2 0 5 2 3  + s ·   2 1 ‒1 3 3 c) g: X = 2 ‒1 3 ‒ 2 3  + s ·   2 2 ‒1 2 3 h: X = 2 ‒ 4 3 1 3  + s ·   2 3 1 2 3 b) g: X = 2 ‒ 3 1 5 3  + s ·   2 1 0 0 3 h: X = 2 ‒ 3 7 4 3  + s ·   2 3 ‒1 0 3 d) g: X = 2 1 2 ‒ 3 3  + s ·   2 ‒1 0 ‒ 2 3 h: X = 2 7 5 0 3  + s ·   2 1 0 ‒ 5 3 791. Die F ® ugbahn einer Rakete R ver ® äuft durch die Punkte A und B, die  F ® ugbahn einer zweiten Rakete T durch die Punkte C und D. Bestimme den geringsten Abstand der beiden F ® ugbahnen, unter der Annahme, dass sich die Raketen auf gerad ® inigen Bahnen bewegen. A = (200 1 312 1 ‒ 210), B = (‒ 400 1 ‒ 50 1 150), C = (‒ 30 1 0 1 ‒100),  D = (250 1 ‒ 250, 300) (Koordinatenangaben in Ki ® ometer) Arbeitsb ® att hr5gd3 Nur zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum des Verlags öbv