Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie Merke 227 Beschreibende Statistik | Statistische Kennzahlen Die Standardabweichung Mit Hi ® fe der Spannweite oder des Quarti ® abstands kann man Aussagen über die Vertei ® ung von statistischen Daten treffen. Ein weiteres wichtiges Streuungsmaß ist die Standard- abweichung. Möchte man z. B. ein Maß für die durchschnitt ® iche Abweichung vom Mitte ® wert der Liste 2, 3, 5, 7, 13 berechnen, könnte man wie fo ® gt vorgehen: Zuerst wird das arithmetische Mitte ® berechnet: _ x = 6 Dann werden die einze ® nen Abweichungen vom Mitte ® wert addiert und durch die Daten- anzah ® dividiert: (2 – 6) + (3 – 6) + (5 – 6) + (7 – 6) + (13 – 6) ______ 6 = 30 – 5 · 6 __ 6 = 0 Um dieses offensicht ® iche Prob ® em zu vermeiden, näm ® ich, dass sich die negativen und positi- ven Abweichungen vom arithmetischen Mitte ® aufheben, verwendet man einen „Trick“. Man quadriert die einze ® nen Abweichungen, ansch ® ießend wird ihre Summe und die Quadratwurze ® daraus gebi ® det. Diese Größe wird Standardabweichung ( σ ) genannt. Es ist zu beachten, dass σ ein Streuungsmaß, aber nicht die durchschnitt ® iche Abweichung vom Mitte ® wert, ist. σ = 9 __________________ (2 – 6) 2 + (3 – 6) 2 + (5 – 6) 2 + (7 – 6) 2 + (13 – 6) 2 ______ 6  ≈ 3,9 Die empirische Standardabweichung Die empirische Standardabweichung ( σ ) ist ein Streuungsmaß. Sie gibt an, wie stark Daten um das arithmetische Mitte ® streuen. Sind die Daten x 1 , x 2 , x 3 , …, x n und ihr arithmetisches Mitte ® _ x gegeben, dann gi ® t für die empirische Standardabweichung: σ = 9 _________________ (x 1 – x) 2 + (x 2 – x) 2 + (x 3 – x) 2 + … + (x n – _ x) 2 ______ n Es ist a ®® erdings auch mög ® ich den Verschiebungssatz für die Varianz (Quadrat der Standard- abweichung, σ 2 ) zu nutzen, um die Standardabweichung zu berechnen. Es gi ® t: σ 2 = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 __ n – _ x 2 Manchma ® wird die empirische Standardabweichung auch so definiert, dass im Nenner n – 1 steht. Bei großen Datenmengen ist der Unterschied sehr k ® ein. Die Standardabweichung einer bereits definierten Liste ® Geogebra: Standardabweichung( ® ) Beispie ® : ® = {3,5,7,8} Standardabweichung( ® ) = 1.92 TI-NSpire: stDevPop( ® ) Beispie ® : ® : = {3,5,7,8} stDEVSamp( ® ) = 1.92 865. Berechne für die Daten die Standardabweichung. a) 6, 4, 9, 5, 7, 11, 5, 3, 7, 5, 4 d) 45, 49, 47, 48, 49, 50, 53, 53, 47, 47, 44, 43 b) 13, 14, 13, 13, 13, 14, 13, 13, 14 e) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 c) 123, 127, 125, 127, 127, 135, 135, 137 f) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 105, 105, 105, 105, 105, 105 866. Die Körpergrößen der Mitg ® ieder einer Jugendgruppe werden ermitte ® t. Berechne den Modus, den Mitte ® wert und die Standardabweichung. Rang ® iste (in cm): 150, 152, 152, 153, 155, 157, 159, 160, 160, 161, 163, 164, 165, 165, 165, 168, 170, 172, 173, 175, 175, 177, 180, 183, 183, 184, 186 Techno ® ogie An ® eitung b7ge7d Nur zu Prüfzwecken __ , x – Eigentum des Verlags öbv