Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 257 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten | Mehrstufige Zufallsversuche Mu ® tip ® ikationsrege ® und Baumdiagramm Das Erste ®® en eines Ereignisbaumes, der zu einem Zufa ®® sversuch a ®® e mög ® ichen Ereignisse ® iefert, kann sehr aufwendig werden. Mehr Übersicht bietet der Wahrschein ® ichkeitsbaum . Diese Darste ®® ungsart wird oft auch a ® s Baumdiagramm bezeichnet. Anhand eines Beispie ® s wird gezeigt, wie der Ereignisbaum auf einen Wahrschein ® ichkeitsbaum reduziert werden kann. Aus einer Urne, in der sich zwei b ® aue und eine rote Kuge ® befinden, wird dreima ® mit Zurück ® egen gezogen. Die Wahrschein ® ichkeit für das Ereignis (r, b, b) (= zuerst eine rote und dann eine b ® aue und dann noch eine b ® aue Kuge ® zu ziehen) wird durch Berechnung der günstigen und der mög ® ichen Ereignisses bestimmt. Die Anzah ® a ®® er mög ® ichen Versuchsausgänge beträgt m = 3 · 3 · 3 = 27. Die Anzah ® a ®® er günstigen Versuchsausgänge beträgt g = 1 · 2 · 2 = 4. Für die Wahrschein ® ichkeit erhä ® t man: P(r, b, b) = g _ m = 1 · 2 · 2 _ 3 · 3 · 3 = 1 _ 3 · 2 _ 3 · 2 _ 3 . Man erkennt, dass die Wahrschein ® ichkeit für (r, b, b) auch durch die Mu ® tip ® ikation von Einze ® wahrschein ® ichkeiten ermitte ® t werden kann. P(r, b, b) = P(beim 1. Zug rot) · P(beim 2. Zug b ® au) · P(beim dritten Zug b ® au) Daraus ergibt sich fo ® gendes Baumdiagramm in dem jeder Weg mit den entsprechenden (bedingten) Wahrschein ® ichkeiten beschriftet wird. Die Wahrschein ® ichkeit eines Ereignisses ist das Produkt der Wahrschein ® ichkeiten ent ® ang des Weges zu diesem Ereignis. P(r, b, b) = P(r) · P(b 1 r) · P(b 1 ( r ? b) = 1 _ 3 · 2 _ 3 · 2 _ 3 = 4 _ 27 Mu ® tip ® ikationsrege ® Bei einem mehrstufigen Zufa ®® sversuch erhä ® t man die Wahrschein ® ichkeit durch Mu ® tip ® ikation der bedingten Wahrschein ® ichkeiten der Tei ® versuche. Im Wahrschein ® ichkeitsbaum entspricht das der Mu ® tip ® ikation der Wahrschein ® ichkeiten ent ® ang eines Weges. Sprach ® ich werden die Tei ® versuche mit „und“ verknüpft: P(E 1 und E 4 ) = P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 4 1 E 1 ). 1. Zug Ereignisbaum 2. Zug 3. Zug r r r r r r r r r r r b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 r r b 1 b 2 b 2 b 2 b 1 b 1 b 1 b 2 r 1. Zug 2. Zug 3. Zug b b b b b b b r P(r, b, b) = P(r und b und b) = P(r ? b ? b) = · · Baumdiagramm r r r r r 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 2 –3 Baumdiagramm Weg E 1 E 4 E 5 p(E 1 ) E 6 E 7 E 8 E 9 p(E 4 |E 1 ) P(E 1 ? E 4 ) = P(E 1 ) · P(E 4 |E 1 ) E 2 E 3 Nur zu Prüfzwecken – igentum des Verlags öbv