Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 48 Untersuchen reeller Funktionen 4 Extremste ®® en von Funktionen Oft werden höchste oder tiefste Punkte von Funktionsgraphen gesucht. In nebenstehender Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion h. Diese beschreibt die Höhe eines Springers beim Bungeejumping in den ersten acht Sekunden zum Zeitpunkt t (h in Meter, t in Sekunden). Man erkennt, dass nach vier Sekunden der tiefste Punkt erreicht wird (da der Funktionsgraph hier den k ® einsten Funktionswert annimmt, nennt man diese Ste ®® e g ® oba ® e Minimumste ®® e ). Dann wird der Springer durch das Sei ® wieder in die Höhe gesch ® eudert und fä ®® t nach sieben Sekunden wieder. Da es um t = 7s ein offenes Interva ®® gibt, in dem der Funktionswert der größte Wert ist, nennt man diese Ste ®® e ® oka ® e Maximumste ®® e . Hier findet ein Monotonie- wechse ® statt. Extremste ®® en A ® s g ® oba ® e Maximumste ®® e einer Funktion f bezeichnet man jene Ste ®® e p, für die gi ® t: f(p) º f(x) für a ®® e x aus der Definitionsmenge von f. A ® s g ® oba ® e Minimumste ®® e einer Funktion f bezeichnet man jene Ste ®® e p, für die gi ® t: f(p) ª f(x) für a ®® e x aus der Definitionsmenge von f. A ® s ® oka ® e Extremste ®® e einer Funktion f bezeichnet man eine Ste ®® e p, bei der ein Monotoniewechse ® stattfindet. Dabei wird zwischen einem ® oka ® en Maximum und einem ® oka ® en Minimum unterschieden. Maximum- und Minimumste ®® en werden a ® s Extremste ®® en bezeichnet. Die zu den Extremste ®® en gehörigen Punkte werden Extrempunkte genannt. 203. Gib a ®® e g ® oba ® en und ® oka ® en Extremste ®® en der Funktion f mit f(x) = 1 _ 30 2 x 4 _ 4 + 4 x 3 _ 3 – 11 x 2 _ 2 – 30 x 3 1) im Interva ®®  [‒1; 4]  2) in R an. Um die Extremste ®® en zu erkennen, wird der Graph der Funktion f gezeichnet (verg ® eiche Abbi ® dung). 1) Da in diesem Interva ®® der größte Funktionswert bei ‒1  und der k ® einste bei 3 angenommen wird, gi ® t: g ® oba ® es Maximum: ‒1 g ® oba ® es Minimum: 3 ® oka ® es Minimum: 3 2) Da die Funktion weiter steigt, existiert kein g ® oba ® es Maximum. g ® oba ® es Minimum: 3 ® oka ® es Minimum: ‒ 5 und 3 ® oka ® es Maximum: ‒ 2 t h(t) 2 4 6 87 10 10 20 30 40 50 0 h x 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 6 0 f f(x) ® oka ® es Maximum ® oka ® es Minimum ® oka ® es Minimum UND g ® oba ® es Minimum muster x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv