Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 54 kompe- tenzen 4.3 Bijektive Funktionen und Umkehrfunktionen Lernzie ® e: º Bijektive Funktionen definieren und erkennen können º Umkehrfunktionen aufste ®® en und erkennen können Es ist bereits bekannt, dass eine Funktion eine eindeutige Zuordnung ist, die jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau einen y-Wert zuordnet. Oft sucht man zu einem vorgegebenen y-Wert a ®® e mög ® ichen x-Werte. Dass dies nicht immer eindeutig ist, sieht man anhand des abgebi ® deten Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 : Für den Funktionswert y = 4 gibt es zwei verschiedene x-Werte (x = 2 und x = ‒ 2). Schränkt man die Definitionsmenge dieser Funktion auf nicht negative ree ®® e Zah ® en ein, dann existiert auch für jeden Funktionswert genau ein Argument (zu y = 4, gibt es nur den x-Wert x = 2). So ® che Funktionen nennt man bijektiv und man kann für die Berechnung der gesuchten x-Werte eine Umkehrfunktion finden. Bijektive Funktion und Umkehrfunktion Eine Funktion f: D ¥ R heißt bijektiv , wenn jedem E ® ement der Wertemenge genau ein E ® ement der Definitionsmenge zugeordnet werden kann. Eine Funktion f ‒1 : f(D) ¥ D, die jedem f(x) den eindeutigen x-Wert zuordnet, nennt man Umkehrfunktion von f. 221. Zeige graphisch, dass die Funktion f: R 0 + ¥ R , f(x) = x 2 _ 10 + 1 bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion von f. Zeichne die beiden Graphen der Funktionen. Was fä ®® t dir auf? Da die Funktion bei dieser Angabe nur für nicht negative ree ®® e Zah ® en definiert ist, kann man jedem y-Wert genau einen x-Wert zuordnen, daher ist die Funktion bijektiv. (verg ® eiche Abbi ® dung). Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, setzt man f(x) = y, und formt auf x um. y = x 2 _ 10 + 1 | – 1 w x = 2 9 _____ 10 y – 10 w Nun werden die Abhängigkeiten, d. h. x und y vertauscht: f ‒1  : [1; • ] ¥ R 0 + , f ‒1 (x) = 2 9 _____ 10 x – 10 Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge der Ursprungsfunktion (anhand des Graphen von f erkennt man die Wertemenge von f: [1; • )). Bei obiger Abbi ® dung erkennt man, dass der Graph der Funktion f an der ersten Mediane (h(x) = x) gespiege ® t wurde. x 4 6 –6 –4 2 0 4 f x = –2 x = 2 2 –2 f(x) x 4 6 –6 –4 2 0 f(x) 4 f x = 2 2 –2 muster x 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 0 1. Mediane (h(x) = x) f –1 f y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv