Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie Merke 56 kompe- tenzen 4.4 Verketten von Funktionen Lernzie ® : º Funktionen verketten können Vie ® e Funktionen setzen sich aus anderen Funktionen zusammen. Betrachtet man die Funktion h(x) = x 2 + 3, so könnte man diese Funktion a ® s Verkettung zweier Funktionen betrachten: Zuerst wird der x-Wert quadriert, ansch ® ießend wird 3 zum Ergebnis addiert: f(x) = x 2 g(x) = x + 3 h(x) = g(f(x)) = x 2 + 3 (f(x) wird in g(x) eingesetzt) a ®® gemein: x f(x) g(x) g ° f = g(f(x)) Beachte, dass die Wertemenge von f eine Tei ® menge der Definitionsmenge von g sein muss. Verkettung von Funktionen Für die Funktionen f: D f ¥ R und g: D g ¥ R mit f(D f ) ist eine Tei ® menge von D g heißt g ° f: D f ¥ R mit (g ° f)(x) = g(f(x)) die Verkettung von g nach f (d. h. g wird nach f durchgeführt). 226. Bi ® de die Verkettung der Funktionen g nach f und gib die größtmög ® iche Definitionsmenge von f an, sodass diese Verkettung mög ® ich ist. f(x) = 3 x – 3 g(x) = 9 _ x + 1 Es wird g nach f verkettet. Dafür wird die Funktion f in g eingesetzt: (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(3 x – 3) = 9 ____ 3 x – 3 + 1 w h(x) = 9 ____ 3 x – 3 + 1 Da die Wurze ® aus negativen Zah ® en in R nicht existiert, muss die Definitionsmenge von f eingeschränkt werden: 3 x – 3 º 0 w x º 1 w D f  = [1; • ) 227. Bestimme für die gegebenen Funktionen 1) f(4) 2) f(u) 3)  f(‒ 2 x + 1)  4) f(x 2 – 3) a) f(x) = 2 x – 4 b)  f(x) = ‒ 4 x + 3 c) f(x) = x 2 + 1 d) f(x) = x _ 3 e) f(x) = – 3 _ 5 x 228. Bi ® de die Verkettung g nach f und gib die größtmög ® iche Definitionsmenge von f an, sodass die Verkettung mög ® ich ist. a) f(x) = 2 x – 4 g(x) = 3 x + 1 c) f(x) = x – 2 g(x) = 9 ___ x – 3 b)  f(x) = ‒ 3 x + 1 g(x) = 2 x – 5    d) f(x) = 4 x + 3 g(x) = 9 ____ 2 x – 1 229. Bi ® de 1) (f ° g)(x) 2) (g ° f)(x) 3) (f ° f)(x) 4) (g ° g)(x) 5) (f ° f ‒1 )(x). a) f(x) = x 2 – 2 g(x) = 2 x – 4 b) f(x) = 3 x 2  + 3  g(x) = ‒ 3 x  2 – 1 Verkettung zweier Funktionen g nach f Geogebra: g(f(x)) Beispie ® : g(x) = x 2 + 3 f(x) = 2 x – 1 g(f(x)) = (2 x – 1) 2 + 3 TI-NSpire: g(f(x)) Beispie ® : g(x): = x 2 + 3 f(x): = 2 x – 1 g(f(x)) = 4 x 2 – 4 x + 4 muster Techno ® ogie An ® eitung hz38ky Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv