Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

58 Untersuchen reeller Funktionen 4 231. Berechne die Funktionswerte f(2, ‒ 4) und f(‒ 5, 6) der Funktion f mit f(x, y) =   2 x – 4 _ y und gib eine sinnvo ®® e Definitionsmenge an. Um die Funktionswerte zu berechnen werden die Werte für x und y eingesetzt: f(2, ‒ 4) =   2 · 2 – 4 __ ‒ 4  = 0   f(‒ 5, 6) =   2 · (‒ 5) – 4 __ 6  = ‒   7 _ 3 Da durch Nu ®® nicht dividiert werden darf, muss man diese Zah ® bei der Definitionsmenge von y ausnehmen: Definitionsmenge: R × R \{0} 232. Berechne die Funktionswerte f(1, ‒ 3) und f(‒ 2, ‒7) und gib eine sinnvo ®® e Definitionsmenge der Funktion f an. a) f(x, y) = 2 y – 3 _ x – 2 c) f(x, y) = x 2 + y 2 e)  f(x, y) = y ·   9 ____ 2 x + 4 b) f(x, y) = 3 y + 1 _ 2 x + 3 d) f(x, y) = x 2 – y 2 f)  f(x, y) = x · 9 ____ 3 y + 27 233. Zeichne den Graphen der Funktion aus Aufgabe 232 mit einem e ® ektronischen Too ® . Bei der Schreibweise V(r, h) sind sowoh ® r a ® s auch h frei wäh ® bare Variab ® en (innerha ® b des Definitions- bereichs). Man kann das Vo ® umen auch für einen konstanten Radius betrachten. Damit der Radius eindeutig a ® s konstanter Faktor angezeigt ist, schreibt man V( h ) = r 2 π h (h ist die unabhängige Variab ® e, r ist konstant) Man kann erkennen, dass V nun eine Funktion der Form V(h) = c · h (mit c =  r  2 π , c ein konstanter Faktor) und daher eine ® ineare Funktion ist. Wäre die Höhe konstant, dann schreibt man V( r ) = r 2 π h (r ist die unabhängige Variab ® e, h ist konstant) und erkennt, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form V(r) = c · r  2 (c = π h, c ein konstanter Faktor) hande ® t. 234. Gegeben ist die Funktion T(a, b, c) = a 2  · b _ c . a) Wie verändert sich T, wenn man a verdoppe ® t? b) Wie verändert sich T, wenn man b verdoppe ® t und c ha ® biert? c) We ® che Art von Funktion ist T(a) und wie kann man den Graphen beschreiben? d) We ® che Art von Funktion ist T(c) und wie kann man den Graphen beschreiben? a) Man ersetzt a durch 2 a und erhä ® t: T(2 a, b, c) = (2 a) 2  · b __ c = 4 a 2 b _ c w T wird vervierfacht. b) Man ersetzt b durch 2 b und c durch 0,5 c und erhä ® t: T(a, 2 b, 0,5 c) = a 2  · 2 b _ 0,5 c = a 2  · 4 b _ c w T wird vervierfacht. c) Betrachtet man die Funktion T(a), dann sind b und c Konstanten und man erhä ® t: T( a ) = a 2  · b _ c Dies ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabe ® . d) Betrachtet man die Funktion T(c), dann sind a und b Konstanten und man erhä ® t: T( c ) = a 2  · b _ c Dies ist eine rationa ® e Funktion. Der Graph ist eine Hyperbe ® . muster h V(h) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V(h) = r 2 · π · h für r = 1 r V(r) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 0 V V(r) = r 2 · π · h für h = 1 muster Nur zu Prüfzwecken – Eige tum M M des Verlags öbv