Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

62 Untersuchen reeller Funktionen 4 Ree ®® e Funktion Eine Funktion f: D ¥ R mit D a R n nennt man eine ree ®® e Funktion in n Variab ® en. (n * N \ {0}) Monotonie Sei f: D ¥ R eine ree ®® e Funktion und A eine Tei ® menge von D. Die Funktion f heißt streng monoton steigend in A, streng monoton fa ®® end in A, konstant in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) = f(x 2 ) Werden die Funktionswerte von f in A für größer werdende Argumente größer/k ® einer oder b ® eiben g ® eich , dann ist f monoton steigend/fa ®® end und nicht streng monoton. Extremste ®® en – Für eine g ® oba ® e Maximumste ®® e p einer Funktion f gi ® t: f(p) º f(x) für a ®® e x * D. – Für eine g ® oba ® e Minimumste ®® e p einer Funktion f gi ® t: f(p) ª f(x) für a ®® e x * D. – A ® s ® oka ® e Maximumste ®® e/Minimumste ®® e einer Funktion f bezeichnet man eine Ste ®® e p, bei der ein Monotoniewechse ® stattfindet. Symmetrie und Periodizität Eine ree ®® e Funktion f mit der Eigenschaft – f(x) = f(‒ x) für a ®® e x aus der Definitionsmenge, nennt man eine gerade Funktion . Ihr Graph ist symmetrisch bezüg ® ich der y-Achse. – f(x) = ‒ f(‒ x) nennt man ungerade Funktion . Ihr Graph ist symmetrisch bezüg ® ich des Koordinatenursprungs. – f(x) = f(x + p) für a ®® e x aus der Definitionsmenge, p * R + , nennt man eine periodische Funktion mit Periode p . Änderungsmaße Sei f eine ree ®® e Funktion, die auf dem Interva ®®  [a; b] definiert ist. Dann heißt – f(b) – f(a) die abso ® ute Änderung  von f in [a; b]. – f(b) – f(a) __ b – a mitt ® ere Änderungsrate  (oder Differenzenquotient) von f in [a; b]. – f(b) – f(a) __ f(a) re ® ative Änderung  von f in [a; b]. – f(b) – f(a) __ f(a)  ·100  prozentue ®® e Änderung  von f in [a; b]. zusammenfassung x 0 f(x 1 ) x 1 < x 2 x 1 x 2 A f(x 2 ) f(x 1 ) < (x 2 ) f f(x) x 0 f(x) f(x 2 ) x 1 < x 2 x 1 x 2 A f(x 1 ) f(x 1 ) > (x 2 ) f x 0 x 1 < x 2 x 1 f x 2 A f(x 1 ) = (x 2 ) f(x) x 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 0 ® oka ® es Minimum ® oka ® es Minimum UND g ® oba ® es Minimum f f(x) ® oka ® es Maximum Nur zu Prüfzwecken ) – Eigentum des Verlags öbv