Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

92 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen 6 346. Löst man eine k ® eine Menge Zucker M 0 in einer Wassermenge auf, so kann man die noch unge ® öste Menge Zucker nach t Sekunden durch M(t) = M 0 · b t mode ®® ieren. a) We ® che Eigenschaft muss für b ge ® ten? b) Ste ®® e eine Forme ® auf, mit der man bei gegebener Anfangs- und Restmenge die vergangene Zeit berechnen kann. 347. Keime in der Kuhmi ® ch vermehren sich annähernd exponentie ®® . Die Anzah ® der Keime K in einem Liter Mi ® ch nach t Stunden kann durch K(t) = a · e λ ·t berechnet werden. a) We ® che Eigenschaft muss für λ ge ® ten? b) Wofür steht a? c) Ste ®® e eine Forme ® auf, mit der man bei gegebener Anfangsmenge a und gegebener Keimmenge K(t) die vergangene Zeit t berechnen kann. 348. Fa ® tet man ein B ® att Papier mit der Dicke D 0 , dann ist das gefa ® tete B ® att doppe ® t so dick. Die Dicke D(k) des k ma ® gefa ® teten B ® atts kann man durch eine Exponentia ® funktion der Form D(k) = D 0 · b k beschreiben. a) Ste ®® e das Wachstumsgesetz für die Dicke des B ® atts auf, wenn angenommen wird, dass das B ® att Papier 0,2mm dick ist. b) Die Entfernung Erde –Mond beträgt 384 400 km. Wie oft müsste man das B ® att fa ® ten, um „theoretisch“ zum Mond k ® ettern zu können? c) Erk ® äre, warum eine Exponentia ® funktion zur Beschreibung des Kontextes nicht geeignet ist. Beachte die Definition einer Exponentia ® funktion auf Seite 84. 349. Kreuze jene Exponentia ® funktionen an, die einen Abnahmeprozess beschreiben. A  N(t) = 5 · 0,8 t C  N(t) = 3 ·1,8 t E  N(t) = 5 · e 3·t B  N(t) = 5 · e ‒3·t D  N(t) = 5 · e 0,4·t 350. Der Ho ® zbestand eines Wa ® des wurde 2005 auf 150 000 Kubikmeter geschätzt. Fünf Jahre später, im Jahre 2010, ergab die Schätzung 168 000m 3 . Es wird exponentie ®® es Wachstum angenommen. Ste ®® e ein Wachstumsgesetz für den Ho ® zbestand h mit h(t) = h 0 · b t in Abhängigkeit von den seit 2000 vergangenen Jahren t auf. Da das Wachstumsgesetz ab dem Jahr 2000 ge ® ten so ®® , sind fo ® gende Daten bekannt: h(5) = 150 000 und h(10) = 168 000 Es gi ® t: h(10) = h(5) · b 5 w 168 000 = 150 000 · b 5 | : 150 000 w b = 5 9 ____ 168 000 _  150 000 = 1,02292 Durch Einsetzen in die a ®® gemeine Wachstumsforme ® und Umformung kann man den Ho ® zbestand im Jahr 2000 berechnen (zum Zeitpunkt t = 0): h(5) = 150 000 = h 0 ·1,02292 5 | : 1,02292 5 w h 0 = 133 932 Laut diesem Mode ®® gi ® t: h(t) = 133 932 ·1,02292 t . TIPP FA-R 5.3 muster Nur A zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv