Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

93 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen | Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 351. Der Ho ® zbestand eines Wa ® des wurde 2008 auf 130 000 Kubikmeter geschätzt. Vier Jahre später ergab die Schätzung 145 000. Es wird ein exponentie ®® es Wachstum angenommen. a) Ste ®® e ein Wachstumsgesetz für den Ho ® zbestand h mit h(t) = h 0 · b t bzw. h(t) = h 0 · e λ ·t in Abhängigkeit von den seit 2005 vergangenen Jahren auf. b) Um wie vie ® Prozent steigt der Ho ® zbestand jähr ® ich? c) Nach wie vie ® Jahren wird sich der Ho ® zbestand verdreifacht haben? d) Ermitt ® e den abso ® uten Zuwachs des Ho ® zbestands vom Jahr 2013 auf 2014. 352. Der Ho ® zbestand eines Wa ® des wurde 2007 auf 135 000 Kubikmeter geschätzt. 3 Jahre später ergab die Schätzung 160 000m 3 . Es wird exponentie ®® es Wachstum angenommen. Mit wie vie ® Kubikmeter Ho ® z kann man im Jahr 2030 rechnen, wenn im Jahr 2014 45 000 Kubikmeter Wa ® d gefä ®® t wurden? 353. Bei einem Experiment beobachtet man die Anzah ® von Atomen eines radioaktiven E ® ements. Nach zwei Stunden sind ca. 1 200 000 Atome vorhanden. Nach 4 weiteren Stunden sind es nur mehr 480 000. a) Ste ®® e ein Zerfa ®® sgesetz in der Form N(t) = N 0 · e λ ·t auf, das die Anzah ® der Atome N(t) in Abhängigkeit der seit dem Start der Beobachtung vergangenen Stunden mode ®® iert. b) Wie vie ® Prozent der Atome zerfa ®® en pro Stunde? c) Wann wird nur mehr ein Prozent von N 0 vorhanden sein? 354. Bei einem Physikexperiment wird die Höhe des Bierschaums in einem G ® as gemessen. Nach 5 Sekunden ist der Schaum ca. 27,05mm hoch, nach 19 Sekunden 24,55mm hoch. Es wird angenommen, dass die Höhe (h in mm) des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit (in s) exponentie ®® abnimmt. a) Ste ®® e ein Abnahmegesetz in der Form h(t) = h 0 · e λ ·t und h(t) = h 0 · b t auf, das die Höhe h des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit mode ®® iert. b) Auf we ® chen Prozentsatz sinkt die Bierschaumhöhe pro Sekunde? c) Wann wird die Höhe des Bierschaums auf ein Vierte ® des Anfangswertes gesunken sein? 355. Die Anzah ® von bestimmten Bakterien wächst in einer Ku ® tur annähernd exponentie ®® . Zu Beginn schätzt eine Wissenschaft ® erin 200 000 Bakterien, nach zwei Stunden bereits eine ha ® be Mi ®® ion. Berechne nach wie vie ® en Stunden über 2 Mi ®® ionen Bakterien in der Ku ® tur existieren. Ha ® bwertszeit und Verdoppe ® ungszeit Unter der Ha ® bwertszeit oder Verdoppe ® ungszeit eines exponentie ®® en Prozesses N versteht man jene Zeit, bei der sich N(t) ha ® biert bzw. verdoppe ® t. Die Ha ® bwertszeit wird oft mit τ bezeichnet. Berechnung der Ha ® bwertszeit eines Abnahmeprozesses der Form N(t) = N 0 · e λ · t : Da sich die Menge zum Zeitpunkt τ ha ® biert hat, gi ® t: N( τ ) = 0,5 ·N 0 (Hä ® fte der Anfangsmenge). Durch Einsetzen in die Funktion N(t) = N 0 · e λ ·t erhä ® t man: 0,5 ·N 0 = N 0 · e λ · τ | : N 0 w 0,5 = e λ · τ | ® ogarithmieren ® n (0,5) = λ · τ · ® n(e) | ® n(e) = 1, : λ w τ = ® n(0,5) _  λ  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv