Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

95 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen | Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Lineares und exponentie ®® es Mode ®® In Lösungswege 5 wurden ® ineare Mode ®® e erarbeitet. In diesem Kapite ® wurden Prozesse mitte ® s Exponentia ® funktionen mode ®® iert. Um abzuschätzen, ob und we ® ches der beiden Mode ®® e für eine bestimmte Aufgabe eingesetzt werden so ®® te, muss man die Eigenschaften der beiden Funktionen verg ® eichen: Lineares Wachstum f(x) = k · x + d, k > 0 Exponentie ®® es Wachstum f(x) = a · b x , b > 1 Verändert man das Argument um 1, dann verändert sich der Funktionswert um k: f(x + 1) = f(x) + k Verändert man das Argument um 1, dann verändert sich der Funktionswert um den Faktor b: f(x + 1) = f(x) · b Verändert man das Argument um h > 0, dann verändert sich der Funktionswert um h · k: f(x + h) = f(x) + h · k Verändert man das Argument um h > 0, dann verändert sich der Funktionswert um den Faktor b h : f(x + h) = f(x) · b h Die mitt ® ere Änderung f(x + h) – f(x) __  h ist stets konstant und entspricht der Steigung k. Der Quotient f(x + h) _  f(x) ist stets konstant (b h ). 363. In der Tabe ®® e sieht man die Entwick ® ung der Einwohnerzah ® einer Stadt. Beschreibe den Wachstumsvorgang durch eine Funktion und begründe, warum du dich für dieses Mode ®® entscheidest. Jahr 2004 2006 2008 2011 Einwohnerzah ® 12 300 13 650 14 900 17500 Um zu überprüfen, ob ein ® ineares Mode ®® sinnvo ®® ist, werden die mitt ® eren Änderungsraten verg ® ichen: mitt ® ere Änderung von 2004 bis 2006: 13 650 – 12 300 __  2 = 675 mitt ® ere Änderung von 2006 bis 2008: 14 900 – 13 650 __  2 = 625 mitt ® ere Änderung von 2008 bis 2011: 17500 – 14 900 __  3 = 867 Aufgrund der Abweichung bei der ® etzten Berechnung ist ein ® ineares Mode ®® nicht sinnvo ®® . Um zu überprüfen, ob ein exponentie ®® es Mode ®® sinnvo ®® ist, wird jewei ® s der Faktor h 9 ___ f(x + h) _  f(x) berechnet: Änderung von 2004 bis 2006: 13 650 _  12 300 = b 2 w b = 1,05 Änderung von 2006 bis 2008: 14 900 _  13 650 = b 2 w b = 1,045 Änderung von 2008 bis 2011: 17500 _  14 900 = b 3 w b = 1,056 Die Veränderungsfaktoren sind ähn ® ich. Eine gute Annäherung wäre z. B. E(t) = 12 300 ·1,05 t Techno ® ogie Darste ®® ung j2xk8i x 1 2 3 4 5 –2 – 1 1 2 3 – 1 0 + 1 + k + k + 1 + k + 1 + 1 + k + 1 + k f f(x) x f(x) f 1 2 3 4 5 –2 – 1 1 2 3 – 1 0 + 1 • b + 1 • b + 1 + 1 + 1 • b • b • b muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags b öbv