Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

99 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 375. In der Graphik sieht man die Bevö ® kerungsentwick ® ung B einer Stadt in Abhängigkeit der seit dem Jahr 2000 vergangenen Jahre (t). In der Tabe ®® e sind genaue Daten zu bestimmten Jahren ab ® esbar. a) Erk ® äre anhand der Daten der Tabe ®® e, warum in den ersten sechs Jahren ein exponentie ®® es Wachstumsmode ®® angenommen werden kann. Ste ®® e ein Wachstums- gesetz mit Hi ® fe der Werte von 2001 und 2003 in der Form B(t) = a · b t dar (t ist die Anzah ® der seit dem Jahr 2000 vergangenen Jahre). b) Erk ® äre anhand der Graphik, warum ab 2006 ein ® ineares Wachstum geeignet ist und ste ®® e ein ® ineares Wachstumsmode ®® mit Hi ® fe der Werte von 2006 und 2008 auf. c) Ein exponentie ®® es Wachstumsgesetz wird durch fo ® gende Mode ®® e beschrieben: B(t) = a · b t und A(t) = c · e r·t , wobei B(t) = A(t) für a ®® e t gi ® t. We ® cher Zusammenhang besteht zwischen a und c? Wie kann man r mit Hi ® fe von b berechnen? Was muss für b bzw. r ge ® ten, damit ein Wachstumsprozess vor ® iegt? 376. Der Graph beschreibt die Entwick ® ung N (in Gramm) eines radioaktiven E ® ements in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren). a) Ste ®® e aufgrund der Informationen N(0) = 60 und N(2) = 50,45 ein Abnahmegesetz in der Form N(t) = a · b t auf und erk ® äre die Bedeutung der Parameter a und b. b) Lies die Ha ® bwertszeit des radioaktiven E ® ements aus der Graphik ab. Leite eine Forme ® zur Berechnung der Ha ® bwertszeit eines Prozesses her, der durch N(t) = a · e λ ·t beschrieben wird. c) Bei einer Exponentia ® funktion der Form N(t) = a · b t ist (1) im Interva ®® [r; r + h], h > 0 immer (2) . (1) (2) die abso ® ute Änderungsrate  b h  die mitt ® ere Änderungsrate  b h – 1  die re ® ative Änderungsrate  a  Typ 2 t B(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 – 1 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 0 B Jahr Bevö ® kerung 2001 3 323 2003 4 550 2006 7670 2008 8 868 t N(t) 2 4 6 8 10 20 40 60 0 N Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum e des Verlags öbv