Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch

Lösungen 231 a) d = 10,1 cm (10,107…) b) Z. B.: Die Länge des Trinkhalmes entspricht einer Flächendiagonale. Der Trinkhalm kann nur in die Packung rutschen, wenn er den Platz der Raumdiagonale einnimmt. Denn die Raumdiagonale ist stets länger als eine Flächendiagonale. d 1 = 6,10 cm (6,0959…); d 2 = 10,1 cm (10,107…); d 3 = 9,85 cm (9,8488…); d R = 10,9 cm (10,870…) 236 a) x = 9 cm; h = 30,7cm (30,708…); A Glas = 952 cm 2 (951,95…) b) A Tür = 1,72m 2 ; ≈ 1,62m 2 (1,6248…) Holzfurnier 240 Z. B.: Die zwei Teilflächen des grünen Quadrats (a 2 ) und die drei Teilflächen des blauen Quadrats (b 2 ) ergeben zusammen die Fläche des roten Quadrats (c 2 ). Daher gilt: a 2 + b 2 = c 2 (Beweis von J. Versluys). 243 a) Z. B.: Euklid von Alexandria war ein griechi- scher Mathematiker der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte. Sein berühmtestes Werk − Ele- mente − ist eine Sammlung des Wissens der griechischen Mathematik seiner Zeit. Aufnahme in dieses Werk fand nur mathe- matisches Wissen, das einer strengen Beweisführung standhielt. So wurde dieses Werk zum Vorbild der modernen Mathema- tik. Euklid konnte auch beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Berühmt ist auch die euklidische Geometrie. b) Z. B.: Abbildung 1: Über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden Quadrate errichtet. Abbildung 2: Im rechtwinkligen Dreieck wird die Höhe h auf die Hypotenuse c eingezeich- net und ins Hypotenusenquadrat verlängert. So wird die Hypotenuse in die Hypotenusen- abschnitte q und p geteilt und das Hypoten- usenquadrat in die Rechtecke mit den Flächeninhalten A = q · c und A = p · c. Nun wird noch eine Parallele zur Hypotenuse durch den linkesten Eckpunkt des linken Kathetenquadrats (A = b 2 ) gezogen. Das lin- ke Kathetenquadrat wird so in ein Trapez und ein, zum ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck, kongruentes Dreieck geteilt. Das Trapez und das ursprüngliche rechtwinklige Dreieck bilden ein, zum linken Katheten- quadrat, kongruentes Parallelogramm. Abbildung 3: Durch Drehung um den linken Eckpunkt A des rechtwinkligen Dreiecks wird eine Seite des Paralleenusenquadrats zur Deckung gebracht. Abbildung 4: Das Parallelogramm wird durch Streckung in ein flächengleiches Rechteck übergeführt. Dieses Rechteck ist flächen- gleich dem Rechteck mit dem Flächeninhalt A = q · c. Daraus folgt: b 2 = c · q (Katheten- satz). Verfährt man ebenso mit dem rechten Kathetenquadrat (A = a 2 ), erhält man einen Beweis für die Gültigkeit des zweiten Kathetensatzes: a 2 = c · p. Mithilfe der beiden Kathetensätze kann der Satz des Pythagoras bewiesen werden. a 2 + b 2 = c · p + c · q = c · (p + q) = c · c = c 2 Basis und Plus – Das kann ich! 250 a) 1. 2. a = b = 13,7cm c = 4,2dm b) 1. 2. 3. h = 3,64dm (3,6373…) a = 74,2 cm (74,247…) a = 45,3mm (45,3); h = 39,3mm (39,259…) 251 a) 1. 2. d = 26,9 cm b = 3,32m (3,3241…) b) 1. 2. d = 273mm (272,94…) a = 37,2 cm (37,193…) c) 1. 2. a = 10,9 cm e = 14,4m d) x = 9 cm; a = 41 cm; b = 58 cm e) 1. 2. x = 1,21 dm; a = 12,4dm (12,41); b = 6,71 dm x = 8,04m (8,0392…); c = 3,42m (3,4214…); e = 17,3m (17,255…) 252 a) 1. a = 24,3dm; q = 25,9dm (25,92); b = 32,4dm 2. a = 26,1 cm (26,149…); p = 18,5 cm; b = 38,9 cm (38,933…) b) h = 33m 253 a) 1. d 1 = 122 cm; d 2 = 169 cm; d 3 = 121 cm (121,01…); d R = 170 cm (170,42…) 2. d 1 = 27,9m (27,941…); d 2 = 36,3m (36,303…); d 3 = 31,2m (31,229…); d R = 39,2m (39,204…) b) 1. d = 57,8 cm (57,841…); d R = 70,8 cm (70,840…) 2. d = 19,7cm (19,657…); d R = 24,1 cm (24,075…) 216 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv