Mathematik anwenden HAK | HUM - schriftliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

12 Kompetenztraining Ein Rechteck von Zahlen M = ( M 11 M 12 … M 1n ) M 21 M 22 … M 2n M m1 M m2 … M mn heißt eine m×nMatrix mit m Zeilen und n Spalten. M ij heißt ijter Eintrag oder ijte Koeffizient von M. Die Summe zweier m×nMatrizen berechnen wir, indem wir die entsprechenden Koeffizienten addieren. Ist c eine Zahl, dann berechnen wir das cFache einer m×nMatrix , indem wir alle Koef fizienten dieser Matrix mit c multiplizieren. Beispiele: 2    A 11 A 12 A 21 A 22   3 + 2    B 11 B 12 B 21 B 22   3 = 2    A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22   3 c· 2    A 11 A 12 A 21 A 22   3 = 2    c·A 11 c·A 12 c·A 21 c·A 22   3 Das Produkt einer m×nMatrix A und einer n×pMatrix B ist die m×pMatrix A·B, deren ijter Koeffizient (A·B) ij das Produkt A i1 B 1j + A i2 B 2j + … + A in B nj der iten Zeile von A mit der jten Spalte von B ist (i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, p). Bei der Matrizenmultiplikation darf man die Reihenfolge der Faktoren nicht vertauschen. Im Allgemeinen ist A·B ≠ B·A. Die Matrix A = 2    a b   c    d   3 ist genau dann invertierbar, wenn ad – bc ≠ 0 ist. Dann ist A ‒1 =   1 _  ad – bc  · 2    d ‒b ‒ c    a 3 die zu A inverse Matrix . Es ist A·A –1 = A –1 ·A = E. Dabei ist E die Einheitsmatrix. Ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten I) 3x 1 + 4x 2 = 7 II) 2x 1 – 1x 2 = 1 können wir auch in der Form 2  3    2   4 ‒1 3 · (    x 1 x 2   ) = 2  7    1 3 bzw. kürzer als A·x = b anschreiben. Wenn A invertierbar ist, dann ist A ‒1 ·b die einzige Lösung des Gleichungssystems. Aus m Rohstoffen R 1 , R 2 , …, R m werden n verschiedene Produkte P 1 , P 2 , …, P n hergestellt. Zur Her stellung einer Einheit des Produktes P j (1 ª j ª n) werden B ij Einheiten des Rohstoffs R i (1 ª i ª m) benötigt. Dann heißt die m×nMatrix B (mit den Einträgen B ij ) die Bedarfsmatrix dieser Produktion. Sie kann in einem Gozintographen dargestellt werden. Beispiel: B = 2  5  3  1 2  0  4 3 Der Nachfragevektor N = 2    N 1 N 2    N n 3 gibt an, wie viele Einheiten der Produkte P 1 ,P 2 , … ,P n hergestellt werden sollen. Die Spalte X = B·N heißt Produktionsvektor . Der ite Eintrag X i von X ist die Anzahl der Einheiten, die vom Rohstoff R i verwendet werden müssen, um die Nachfrage N zu erfüllen. Matrizen Rechnen mit Matrizen inverse Matrix Gleichungs systeme in Matrizenform Produktions prozesse 2 1 3 4 5 P 1 P 2 R 1 R 2 R 3 … Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv