Das ist Mathematik 3, Schulbuch

J 209 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Formulierung des pythagoreischen Lehrsatzes • Einführung der Quadratwurzel • Anwenden des Lehrsatzes in rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken, sowie in Rechtecken Zeichne obenstehende Figur nach! Beginne mit einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 4 cm! Errichte darüber ein gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck und verfahre weiter wie in der Figur! Die Quadratmuster des Pythagoras Quadratzahlen heißen die Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, … deshalb, weil man sie als quadrati- sche Punktmuster zeichnen kann. Das geometrische Muster von 9 (roten) Punkten stellt die Quadratzahl 9 dar. Es entspricht einem Quadrat mit der Seitenlänge 3. An dieses Quadrat fügt man rechts und oben jeweils 3 (blaue) Punkte an. Das sind doppelt so viele Punkte, wie eine (rote) Quadratseite hat. Schließlich gibt man noch einen (gelben) Punkt in der rechten oberen Ecke dazu und erhält auf diese Weise das geometrische Muster der nächsten Quadratzahl 16 = 4 2 . Dieses Prinzip gilt allgemein, von 1 2 auf 2 2 , von 2 2 auf 3 2 usw. Zeichne in das Punktmuster (rechts oben) den Schritt von 4 2 auf 5 2 ein! Zur Quadratzahl 9 wird also die ungerade Zahl 7 ( = 6 + 1) addiert, um die nächste Quadratzahl 16 zu erhalten. Zur Quadratzahl 16 wird die ungerade Zahl 9 addiert, um 25 zu erhalten. Rückblickend kann man erkennen, dass zur Quadratzahl 1 die ungerade Zahl 3 addiert wird, um 4 zu erhalten. Zur Quadratzahl 4 wird die ungerade Zahl 5 addiert, um 9 zu erhalten, usw. Es werden also der Reihe nach die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9, … addiert und immer ergibt sich eine Quadratzahl. 3 3 . 1 = 3 3 . 1 = 3 1 2 = 1 3 2 =9 1 3 1 Pythagoreische Tripel Wenn man das Punktmuster – wie oben beschrieben – fortsetzt, wird zur Quadratzahl 16 = 4 2 die ungerade Zahl 9 = 3 2 addiert, die selbst eine Quadratzahl ist. Das Ergebnis ist wieder eine Quadratzahl, nämlich 25 = 5 2 ! Damit hat man ein Beispiel natürlicher Zahlen a, b, c gefunden, für die die Beziehung a 2 + b 2 = c 2 gilt. Natürliche Zahlen, die in einer derartigen Beziehung zueinander stehen, heißen pythagoreische Tripel. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv