Das ist Mathematik 3, Schulbuch

210 Satz des Pythagoras J 1 Livia und Lea spielen im Park. Sie sehen eine Rutsche, die 1,6m hoch ist. Lea schätzt, dass das Ende der Rutsche ca. 3m vom Klettergerüst entfernt ist. Livia fragt: „Wie lang ist die Rutsche?“ – „Machen wir eine Zeichnung im Maßstab 1  100! Wir vernachlässigen den Knick in der Rutsche – das wird sicher passen“, ant wortet Lea. Die Mädchen fertigen die Zeichnung im Maßstab 1  100 an. 3m š , 1,6m š . Die Länge der Rutsche können sie somit aus der Konstruktion entnehmen, sie ist ca. lang. Livia denkt einen Augenblick nach und meint: „Die Skizze hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem wir die beiden Kathetenlängen kennen. Ob man die Länge der Hypotenuse auch berechnen könnte?“ Eine Formel für die Berechnung der Hypotenusenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck aus den gegebenen Kathetenlängen gibt es tatsächlich. Sie ist seit fast 4 000 Jahren bekannt und folgt aus dem so genannten Lehrsatz des Pythagoras . Hinweis In diesem Buch ist, wenn nicht anders angegeben, der rechte Winkel immer bei C. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras können wir die oben gestellte Aufgabe lösen: c 2 = 1,6 2 + 3 2 = . Durch Probieren findet man die Länge der Hypotenuse c: m. Vergleiche durch Abmessen der Hypotenuse in der Maßstabszeichnung! Umgekehrt ergeben die Zahlen a , b und c , die die Beziehung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, immer auch Seiten- längen eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenusenlänge c (Begründung: 4. Klasse). Durch Umformen kann man aus der gegebenen Hypotenusenlänge und einer Kathetenlänge die jeweils andere Kathetenlänge berechnen: a 2 + b 2 = c 2 w a 2 = c 2 – b 2 und b 2 = c 2 – a 2 Wiederholung: Satz von Thales In der zweiten Klasse haben wir beim rechtwinkligen Dreieck den Satz von Thales kennengelernt: „Jeder Punkt C (ungleich A, B) auf einem (Halb-)Kreis bildet mit den Endpunkten des Durchmessers AB ein rechtwinkliges Dreieck .“ Dabei ist der Durchmesser die Hypotenuse c. Umgekehrt stellt der Thaleskreis den Umkreis jedes rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse AB dar. Der Umkreismittelpunkt liegt also beim Mittelpunkt des Durchmessers und der Radius des Umkreises ist somit c _ 2 . interaktive Vorübung g94w74 AH S. 62 c = b = a = In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt für die Seitenlängen: a 2 + b 2 = c 2 Mögliche Sprechweisen: „Kathete a hoch 2 plus Kathete b hoch 2 ist Hypotenuse c hoch 2“; oder kurz: „a zum Quadrat plus b zum Quadrat = c zum Quadrat“ Satz des Pythagoras A B M C 3 C 2 C 1 1 Rechtwinkliges Dreieck – Satz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv