Das ist Mathematik 3, Schulbuch

227 K1 Prisma 1.2 Flächendiagonalen Flächendiagonalen Mario bastelt mit seinem Vater neue Tischkartenhalter und Reservierungs- schilder für ihr Gasthaus. Die beiden sägen den Holzquader entlang der Diagonale der Deckfläche an. Die Schilder sollten genau in den entstehen- den Schlitz passen. Wie breit müssen sie daher die Schilder machen? Überlege: Für die Grund- und Deckflächendiagonale d 1 eines Quaders mit den Seitenlängen a, b und c (Figur rechts) gilt nach dem Lehrsatz des Pythagoras: d 1 2 = a 2 + b 2 w d 1 = √ _____ a 2 + b 2 Für die Flächendiagonale d 1 eines Holzstückes mit a = 8 cm, b = 6 cm und c = 15 cm folgt demnach: √ _____ 8 2 + 6 2 = √ ______________ + = √ _______ = w d 1 = cm Die Schilder sollten also cm breit werden. Für die anderen Flächendiagonalen d 2 und d 3 kann man sich das in gleicher Weise überlegen. Ergänze: d 2 = √ __________ a 2 + 2 bzw. d 3 =  √ _______________ 2 + 2 Für alle Flächendiagonalen des Würfels gilt d = √ _____ a 2 + a 2 = √ ____ 2 · a 2 . Gegeben ist der Quader mit den Kantenlängen a, b und c. Wie lang sind die drei Flächendiagonalen d 1 , d 2 und d 3 des Quaders? a) a = 30 cm, b = 16 cm, c = 72 cm c) a = 4,5 cm, b = 2,8 cm, c = 9,6 cm b) a = 9dm, b = 12dm, c = 15dm d) a = 1,5m, b = 1,3m, c = 2,8m Wie lang ist die Flächendiagonale eines Würfels mit der gegebenen Kantenlänge a? a) a = 16mm b) a = 4,3 cm c) a = 23,5 cm d) a = 1,04 m Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels mit einer a) 1 cm, b) 5 cm langen Flächendiagonale? Ist die Aussage richtig oder falsch? Begründe deine Antwort mit einer Skizze! a) „Aus dem Schrägriss eines Quaders kann man nicht alle Flächendiagonalen messen.“ b) „Die Flächendiagonale der Grundfläche eines Quaders ist immer am längsten.“ c) „Die Flächendiagonalen eines Würfels sind alle gleich lang.“ Ein Holzquader wird in der Mitte durchgeschnitten ( ➞ Figur rechts). Berechne den Flächeninhalt der blau markierten Fläche! d 1 d 3 d 2 a c b Flächendiagonalen Quader: d 1 = √ _____ a 2 + b 2 , d 2 = √ _____ a 2 + c 2 , d 3 = √ _____ b 2 + c 2 Würfel: d = √ ____ 2 · a 2 = √ _ 2 · a Diagonalen im Quader und im Würfel 927 D A O I 928 D A O I 929 D A O I Beispiel d = 3 cm d = √ _ 2 · a w 3 = √ _ 2 · a w a = 3 __ √ 2 ≈ 2,12, O = 6 a 2 = 6 · (2,12) 2 = 6 · 4,5 = 27cm 20 cm 10 cm 25 cm 930 D A O I 931 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv