Das ist Mathematik Humenberger (Hrsg.) Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl, Litschauer, Groß, Aue C B A 4 Mit Online-Codes im Buch
Das ist Mathematik 4, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer: 195113 Das ist Mathematik 4, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 205251 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 15. April 2019, GZ BMBWF-5.018/0101-Präs/14/2018, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klasse an Neuen Mittelschulen und für die 4. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen - Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 13. September 2021, GZ BMBWF - Präs/t4 (Bildungsmedien) 2020-0.673.876, wird Das ist Mathematik 4, Schülerbuch mit E-Book+, SBNR 205.251 als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und neuen Mittelschulen für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0003) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2020 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Christiane Schütz, MSc, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-09162-8 (Das ist Mathematik SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-10802-9 (Das ist Mathematik SB 4 mit E-BOOK+) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Das ist Mathematik 4 www.oebv.at Die interaktiven Übungen auf www.oebv.at wurden erstellt von: Dipl.-Päd. Thomas Schroffenegger, BEd MAS MSc Univ.-Prof. Mag. Dr. Hans Humenberger (Hrsg.) Mag. Johannes Hasibeder DI Mag. Dr. Michael Himmelsbach, MA Mag. Johanna Schüller-Reichl HR Mag. Dr. Dieter Litschauer OStR Mag. Herbert Groß HR Mag. Vera Aue Lösungen sind in jeder Buchhandlung und auf www.oebv.at erhältlich. B A C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Symbole und Zeichen 8 Mathematik macht Spaß 9 Wiederholung 10 Zahlen und Maße A Reelle Zahlen 16 1 Quadratwurzel 18 1.1 Einführung der Quadratwurzel 18 1.2 Irrationale Zahlen 20 1.3 Rechnen mit Quadratwurzeln 22 2 Kubikwurzel 24 3 Reelle Zahlen und Zahlenbereiche 26 4 Intervalle 29 5 Darstellung von Quadratwurzeln 31 Üben und Sichern 33 Wissensstraße 35 Variable, funktionale Abhängigkeiten B Terme 36 1 Eigenschaften von Termen 38 1.1 Termarten 38 1.2 Rechnen mit Termen 40 1.3 Termstrukturen 44 2 Bruchterme 47 2.1 Eigenschaften von Bruchtermen 47 2.2 Kürzen und Erweitern von Bruchtermen 48 2.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen 50 2.4 Multiplizieren und Dividieren mit Bruchtermen 52 Üben und Sichern 55 Wissensstraße 59 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 C Gleichungen, Ungleichungen und Formeln 60 1 Gleichungen 62 1.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen 62 1.2 Bruchgleichungen 68 2 Ungleichungen 71 2.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen 71 2.2 Lösen von Ungleichungen 72 3 Formeln 74 Üben und Sichern 78 Wissensstraße 81 D Funktionen 82 1 Einführung von Funktionen 84 2 Darstellungsarten von Funktionen 86 3 Lineare Funktionen 92 3.1 (Direkt) Proportionale Funktionen 92 3.2 Die Steigung k 93 3.3 Allgemeine lineare Funktionen 95 3.4 Charakteristische Eigenschaften linearer Funktionen 98 4 Weitere Funktionstypen 101 4.1 Quadratische Funktionen 101 4.2 Rationale Funktionen 103 Üben und Sichern 105 Wissensstraße 108 E Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 110 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 112 1.1 Lösungen und Lösungsmenge 112 1.2 Lösungsmenge graphisch darstellen 114 2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 116 2.1 Graphisches Lösungsverfahren 116 2.2 Parameter und Lösungsfälle 118 2.3 Rechnerische Lösungsverfahren 121 2.4 Textaufgaben 125 Üben und Sichern 131 Wissensstraße 134 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis 4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen F Statistik 136 1 Mittelwerte 138 1.1 Wiederholung 138 1.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel 140 1.3 Mittelwert von Mittelwerten 143 2 Streumaße 145 2.1 Spannweite 145 2.2 Varianz und Standardabweichung 147 2.3 Quartile und Quartilsabstand 150 3 Boxplot (Kastenschaubild) 152 Üben und Sichern 155 Wissensstraße 159 Geometrische Figuren und Körper G Berechnungen am Kreis 160 1 Umfang des Kreises – die Zahl π („Kreiszahl”) 162 2 Länge des Kreisbogens 166 3 Flächeninhalt des Kreises 169 4 Flächeninhalt des Kreissektors 173 5 Flächeninhalt und Umfang des Kreisringes 175 Üben und Sichern 177 Wissensstraße 179 H Satz des Pythagoras in ebenen Figuren 180 1 Rechtwinkliges Dreieck 182 2 Berechnungen in besonderen Vielecken 186 2.1 Rechteck und Quadrat 186 2.2 Dreiecke 188 2.3 Drachen (Deltoid) 191 2.4 Raute und Parallelogramm 192 2.5 Trapez 194 2.6 Regelmäßige Vielecke 196 3 Beweise für den Satz des Pythagoras 197 4 Katheten- und Höhensatz 199 Üben und Sichern 201 Wissensstraße 203 I Berechnungen bei Prismen und Pyramiden 204 1 Prisma 206 2 Pyramide 209 Üben und Sichern 212 Wissensstraße 215 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv
5 J Zylinder, Kegel, Kugel 216 1 Zylinder 218 1.1 Volumen des Zylinders 218 1.2 Oberfläche des Zylinders 219 2 Kegel 223 2.1 Volumen des Kegels 223 2.2 Oberfläche des Kegels 225 3 Kugel 228 Üben und Sichern 231 Wissensstraße 233 Große Wissensstraße 234 Große Wissenstraße: Zahlen und Maße 234 Große Wissenstraße: Variable und funktionale Abhängigkeiten 239 Große Wissenstraße: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 244 Große Wissenstraße: Geometrische Figuren und Körper 249 Technologie 254 1 Wiederholung Terme und Gleichungen mit CAS 255 2 Lineare Gleichungssysteme 257 3 Funktionen 259 4 Statistik 261 5 Satz des Pythagoras 265 6 Bewegungsaufgaben und der „Wenn-Dann-Befehl“ 269 7 Zentrische Streckung 271 Anhang Lösungen Wissensstraßen 272 Lösungen Große Wissensstraße 275 Bildnachweis 278 Formelsammlung 279 Typische Aufgaben zum Kompetenzmodell Mathematik 285 Register 287 Ein Kapitel zur Erweiterung und Vertiefung in die Geometrie (Beweise, Peripheriewinkel, Ellipse) steht im Lehrwerk-Online gratis zum Download bereit. r4w3z4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der vierten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… …eine Sprache. Deswegen werden dir so genannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere helfen dir die Satzbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. …wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Einstiegsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch nette Rätsel und interessante Aufgaben. Die Lösungen dazu findest du mit dem Code 8hx7h7 unter www.oebv.at im Lehrwerk-Online Das ist Mathematik. Berechnungen bei Prismen und Pyramiden I 204 Berechnungen bei Prismen und Pyramiden Platon, der Namensgeber Schon die Pythagoreer im 6. Jahrhundert vor Chr. kannten den Tetraeder, den Hexaeder und den Dodekaeder. Der Oktaeder wurde als Doppelpyramide verstanden. Der griechische Philosoph Platon (um 427–347 vor Chr.) wurde zum Namensgeber der fünf geometrischen Körper. In seinem Werk „Timaios“ beschrieb er sie ausführlich. Er ordnete ihnen die so genannten vier Elemente zu: dem Tetraeder das Feuer, dem Hexaeder die Erde, dem Oktaeder die Luft und dem Ikosaeder das Wasser. Der Dodekaeder ließ sich mit dem von Aristoteles genannten fünften Element „Äther“ gleichsetzen. In dieser Darstellung werden den Platonischen Körpern die jeweiligen Elemente zugeordnet (➔ aus Harmonice mundi von Johannes Kepler). Durch welche Symbole sind die Elemente dargestellt? Platonische Körper Körper, die durch regelmäßige und kongruente Vielecke begrenzt werden und bei denen in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstoßen, heißen Platonische Körper. Es gibt deren nur fünf, wie Euklid (360–280 vor Chr.) bewiesen hat. Die Anzahl ihrer (Begrenzungs-)Flächen findet sich in ihrem Namen in griechischer Sprache: regelm. Tetraeder (Oberfläche: vier gleichseitige Dreiecke) regelm. Hexaeder (Oberfläche: sechs Quadrate) regelm. Oktaeder (Oberfläche: acht gleichseitige Dreiecke) regelm. Dodekaeder (Oberfläche: 12 regelmäßige Fünfecke) regelm. Ikosaeder (Oberfläche: 20 gleichseitige Dreiecke) Vielflächner heißen Polyeder. Dabei kommt der Wortteil „eder“ vom griechischen „edra“, was so viel wie Fläche bedeutet. Der (regelmäßige) Tetraeder ist eine Pyramide, der Hexaeder ein Prisma und der Oktaeder eine „Doppelpyramide“. Auch beim Dodekaeder bzw. Ikosaeder kann man Teilpyramiden erkennen. Prismen und Pyramiden spielen also bei den Platonischen Körper eine wichtige Rolle. I 205 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Flächen- und Raumdiagonale des Prismas • Oberfläche, Rauminhalt und Masse von Prisma und Pyramide • Oberfläche und Rauminhalt von regelmäßigen Tetraeder und Oktaeder Alles ist Symmetrie Alle (Begrenzungs-)Flächen der Platonischen Körper sind regelmäßig und haben jeweils den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Körpers. Es existiert eine Inkugel und eine Umkugel. Die Platonischen Körper weisen größtmögliche Symmetrie auf. Auf Grund dieser Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle Platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie beim Werfen mit der exakt gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen (➞ Bild rechts). Welche Platonischen Körper stellen die Spielsteine dar? Übertrage das Netz auf ein Blatt Papier und schneide es aus! Vergiss nicht auf die Falzkanten! Welche Form hat der entstandene Spielstein? Platonische Körper in Natur und Kunst Wissenschafter haben erkannt, dass die Anordnung der Wasserstoffatome im Metan-Molekül einem Tetraeder entspricht. Tetraeder, Hexaeder und Oktaeder findet man auch im Bau von Kristallen. So bildet etwa Natriumchlorid (Steinsalz) Kristalle annähernd in der Form von Hexaedern und Alaun (Tonerdesalz) solche von Oktaedern. Pyrit-Kristalle können die Form sowohl von Hexaedern als auch von Oktaedern haben. In der Mineralogie werden diese Kristallformen mit dem Begriff „kubisch“ zusammengefasst. In der bildenden Kunst sind Platonische Körper in den Werken von zB Leonardo da Vinci (1452–1519) enthalten, aber auch in der Kunst des 20. Jahrhunderts zB bei Mauritz C. Escher (1898–1972). Johannes Kepler (Astronom, Mathematiker, 1571–1630) stellte 1596 die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der Platonischen Körper mit deren In- und Umkugeln dar. Doktorarbeit von Johannes Kepler. OnlineCode zu den historischen Videos Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Lernziele Sprachbaustein Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 …Entdecken, Probieren und Knobeln. Deswegen wirst du viele interessante Denksportaufgaben und ein paar harte Nüsse im Buch entdecken. Denksportaufgaben sind mit gekennzeichnet und herausfordernde Aufgaben mit . …ein Werkzeug im Alltag. Deswegen findest du interessante Aufgabenstellungen in diesem Buch, die sich aus Informationstexten ergeben. Da oft im Alltag nicht ganz eindeutig ist, welche Information man eigentlich zum Lösen eines Problems braucht, musst du dir den Text und die Fragestellung genau durchlesen! Aufgaben, die diese Problematik aufgreifen, sind mit gekennzeichnet. … strukturiertes Denken. Deswegen ist auch dieses Buch ganz klar aufgebaut. Am Anfang jedes Kapitels erwartet dich ein kurzer Einstieg, bei dem du auch selbst aktiv werden kannst. Dann wird das grundlegende Wissen dieses Kapitels vermittelt und in einem Merkkasten zusammengefasst. Beispiele unterstützen dich beim Anwenden des Wissens und beim Lösen der Aufgaben. Damit du alle Inhalte eines gesamten Abschnitts nochmals wiederholst, findest du am Ende die Aufgabensammlung Üben und Sichern. Die anschließende Wissensstraße fasst die Lernziele zusammen und bietet Aufgaben, um diese zu erreichen und zu überprüfen. 18 sdf23s Video Üben und Sichern 1 D A O I 2 D A O I 3 D A O I 4 D A O I 5 D A O I Zusammenfassung 19 Lernziele: Ich kann … Wissensstraße Wissensstraße Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: 6 Z 4 D A O I 7 Z 2 D A O I 8 Z 2 Z 3 D A O I 9 Z 2 D A O I 10 Z 2, Z 3, Z 4 D A O I 11 Z 4 D A O I 12 Z 4 D A O I 13 Z 5 D A O I 14 Z 5 Wir wünschen dir viel Freude an der Mathematik und mit unserem Buch! Hier findest du Aufgaben, die den gesamten Abschnitt wiederholen oder auch verschiedene Abschnitte miteinander in Verbindung bringen. Die Aufgabenstellung gilt hier für mehrere Aufgaben. Die Lernziele werden oben mit Z1, Z2, Z3, … bezeichnet und im Aufgabenbereich entsprechend geübt. Setze bei jenen Aufgaben, die du beherrschst, ein Häkchen! In der Zusammenfassung findest du die gesamte Theorie des Abschnitts. Thema des Merkkastens Beispiel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematische Zeichen 8 Symbole und Zeichen ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen Q: Menge der rationalen Zahlen ℕu = {1, 3, 5, …} Menge der ungeraden nat. Zahlen I: Menge der irrationalen Zahlen ℕg = {0, 2, 4, 6, …} Menge der geraden nat. Zahlen R: Menge der reellen Zahlen Z = {…, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, …} Menge der ganzen Zahlen { } oder Ø: leere Menge = ist gleich ≠ ist nicht gleich, ungleich < kleiner als ≤ kleiner gleich, höchstens gleich > größer als ≥ größer gleich, mindestens gleich ≈ angenähert gleich, rund, etwa š entspricht w daraus folgt É ist gleichbedeutend mit (äquivalent) * ist Element von, gehört zu + ist kein Element von, gehört nicht zu † a † Betrag von a a n a hoch n, a zur n-ten Potenz √ __ a Quadratwurzel aus a 3 √ __ a Kubikwurzel aus a Abkürzungen: Ü Überschlagsrechnung f. A. falsche Aussage f (x) Funktion f von x ggT größter gemeinsamer Teiler w. A. wahre Aussage kgV kleinstes gemeinsames Vielfaches Symbole: Online-Code Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Lehrwerk- Online befinden sich Technologieanleitungen, interaktive Übungen und Arbeitsblätter. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / Online-Code Suchen Lies besonders genau bei dieser Aufgabe! Du lernst dabei zu beachten, welche Angaben zur Lösung einer Aufgabe wichtig sind. schwierige, herausfordernde Aufgabe Denksportaufgabe zum Knobeln Hake die Aufgaben ab, die du richtig gelöst hast! Dieses Symbol gibt die passende Seite im Arbeitsheft an. D A O I Der Kompetenzkreis zeigt an, welche der Handlungsbereiche (Operieren; Interpretieren; Darstellen, Modellbilden; Argumentieren, Begründen) die Aufgabe betrifft (für das Kompetenzmodell vgl. S. 285 f.). ! teilt, ist Teiler von … ~ teilt nicht, ist kein Teiler von … % Prozent ‰ Promille u parallel ú nicht parallel ¾ rechter Winkel © rechtwinklig zu, normal auf AB Strecke AB __ AB Länge der Strecke AB ¼ ab Winkel zwischen a und b ¼ ABC Winkel zwischen AB und BC t kongruent, deckungsgleich r ähnlich _ x arithmetisches Mittel ¦ Zuordnungspfeil Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik macht Spaß 9 Mathematik macht Spaß Verbinde die 9 Punkte (➞ Figur rechts) mit einem Streckenzug, der aus nur 4 Strecken besteht! Hinweis Die einzelnen Strecken müssen nicht Verbindungen der einzelnen Punkte sein. a) Lege zwei Streichhölzer so um, dass fünf gleich große Quadrate entstehen und keine Streichhölzer übrig bleiben (➞ Figur unten links)! b) Lege drei Streichhölzer so um, dass genau vier gleich große Quadrate entstehen und kein Streichholz übrig bleibt (➞ Figur rechts)! 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 12 Man kann das Ziffernblatt einer Uhr so in zwei Hälften teilen, dass die Summe der Zahlen auf beiden Seiten gleich ist. Wie verläuft die Trennungslinie? Wie oft zwischen Mitternacht und 6:00 Uhr bilden die Zeiger einer Uhr einen Winkel von 90°? Im magischen Sechseck rechts sind die Zahlen von 1 bis 13 eingetragen. Je drei Zahlen liegen auf einer der insgesamt neun Strecken. Beachte, dass für sechs dieser Strecken die Summe ihrer Zahlen 23 ist (zB 3 + 7 + 13)! Die drei anderen Summen ergeben nicht 23. Stelle die Zahlen so um, dass sich auf jeder der neun Strecken die Summe 21 ergibt! Hinweis Versuche es mit der Zahl 7 im Zentrum! Freitag schreibt einige verschiedene natürliche Zahlen, die alle kleiner als 11 sind, in einer Reihe in den Sand. Robinson Crusoe betrachtet die Zahlenfolge und stellt vergnügt fest, dass für benachbarte Zahlen immer gilt, dass eine Zahl durch die andere teilbar ist. Wie viele Zahlen hat Freitag höchstens in den Sand geschrieben? A 6 B 7 C 8 D 9 E 10 In einer Zeitung konnte man folgenden Text lesen: „Im letzten Jahr konnten die Verkehrsunfälle mit Personenschaden von 1 Zehntel auf 1 Fünftel gesenkt werden. Die Exekutive meint dazu: Auch 5 Prozent sind noch immer zu viele Unfälle dieser Art.“ Was sagst du zu dieser Information? Aus einem vollen 468-Liter-Essigfass mit reinem Essig wird ein Sechstel Essig entnommen und das Fass mit Wasser wieder aufgefüllt. Abermals wird ein Sechstel des nun verdünnten Essigs entnommen und das Fass nochmals mit Wasser aufgefüllt. Wie viel Liter Wasser sind nun im Fass? 1 D A O I AH S. 4 2 D A O I 3 D A O I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 D A O I 5 D A O I 6 D A O I 7 D A O I 8 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des V rlags öbv
10 Wiederholung Die Zwillinge Noah und Sophia (13 Jahre) haben dieses Mal sehr spannende Ferien erlebt. Fast jede Woche waren sie an einem anderen Ort. Ihr erster Aufenthalt war bei ihren Großeltern. Führe die Rechnungen aus und ordne die passenden Ergebnisse zu! Die Buchstaben verraten dir den Wohnort der Großeltern. 1 (‒4)·(‒7) – (+15)·(‒3) – (‒2)·(‒12) = 2 (‒15) + (‒96)12 + (‒7)·(‒12) = 3 [(‒125)(‒25)]·(‒2) = 4 81(‒9) – (‒70)7 + (‒10) = 5 † ‒7 †·(‒3) – (+5)·† + 7 † = 6 ( ‒7 __ 9 ) · ( 13 __ 14 ) + 7 __ 12 · ( ‒4 __ 21 ) = 7 [ ( 7 _ 9 ) + ( ‒2 __ 3 ) ] 7 __ 12 = 8 ( ‒7 __ 9 ) ( 5 _ 6 ) + 7 __ 12 = 9 ( 13 __ 14 ) · 7 __ 12 – ( ‒4 __ 21 ) = Wohnort: _ _ _ _ _ _ _ _ _ Gemeinsam mit ihren Großeltern haben sie einen Ausflug in die Stadt gemacht. Eine der Sehenswürdigkeiten ist eine 6,81 m hohe regelmäßige vierseitige Pyramide (➞ Bild rechts). In einem Souvenirshop bekommt Noah eine maßstabsgetreue Nachbildung. Die Maße der Nachbildung betragen 45,4mm für die Höhe, 53,6mm für die Seitenkante und 40,3mm für die Grundkante. 1) In welchem Verhältnis stehen die Längen der Nachbildung zu den Längen im Original? 2) Berechne die Länge der Seitenkante und der Grundkante in der Wirklichkeit! 3) Berechne die Mantelfläche und das Volumen der Originalpyramide! Der Eintritt in den Zoologischen Stadtgarten kostet für Erwachsene 11€, für Kinder von 6–15 Jahren 5€. a) Stelle eine Formel auf, mit der man den Preis für E Erwachsene und K Kinder berechnen kann! b) Weiters gibt es jedoch auch Familientickets für zwei Erwachsene und maximal vier Kinder um 27,50€. Um wie viel Prozent ist das Familienticket für Noah, Sophia und ihre Großeltern günstiger, wenn sie 1) zu viert gehen, 2) zusätzlich eine Freundin von Sophia mitnehmen? c) Je mehr Personen insgesamt beim Familienticket mitgehen, desto günstiger wird es durchschnittlich pro Person. Handelt es sich in diesem Fall um einen indirekt proportionalen Zusammenhang? Begründe! d) Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Kosten für den Eintritt und Anzahl der Kinder, wenn kein Familienticket gekauft wird? AH S. 5 9 D A O I ‒ 7 __ 20 H 34 O 49 K ‒56 S 15 __ 16 I ‒ 5 _ 6 R 5 __ 24 T 61 A ‒10 R 41 __ 56 E ‒9 L 4 __ 21 U 10 D A O I 11 D A O I Wiederholung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 11 Danach waren die Zwillinge zuhause. Da ihre Eltern berufstätig sind, durften beide einen Elternteil in seiner Arbeitsstelle besuchen. Noah war mit seiner Mutter, die als Molekularbiologin tätig ist, im Labor und Sophia mit ihrem Vater in der Bank. Sophia bringt ihr Sparbuch mit auf die Bank. Vor 5 Jahren zu Jahresbeginn betrug der Guthabenstand 550 Euro. Der Netto-Jahreszinssatz pnetto % liegt bei 1,125%. Wie viel Euro Zinsen hat sie in den 5 Jahren bekommen? Sophia hat auch Noahs Sparbuch mit. Er hat vor einem Jahr das letzte Mal Geld eingezahlt. Für den Netto-Jahreszinssatz von 1,125% hat er 9,00 Euro an Zinsen erhalten. Wie hoch war sein Kapital vor einem Jahr? Der Vater schenkt beiden je 100 Euro. Sophia zahlt das Geld sofort auf ihr Sparbuch ein. Wie viel Euro davon kann sie an ihrem Geburtstag in 154 Tagen abheben, wenn sie das bisher vorhandene Kapital und die zugehörigen Zinsen unberührt lässt und der Netto-Jahreszinssatz auf 2,75% erhöht wird? Verwende das Ergebnis von Aufgabe 12! Im Labor untersucht die Mutter Streptokokken. Diese verdoppeln sich alle 30–40 Minuten. a) Wie viele Bakterien gibt es nach 1) 2h, 2) 4h, 3) 6h, 4) 8h, wenn zu Beginn 1 000 Bakterien gezählt wurden? Berechne mit der kürzesten Verdopplungszeit von 30 Minuten und anschließend mit 40 Minuten! Stelle das Ergebnis auch in Gleitkommadarstellung dar! b) Noah entdeckt auf einem Zettel den Term 1 000·210 und fragt seine Mutter, was das bedeutet. Gib eine mögliche Erklärung! Streptokokken vermehren sich bei einer gewissen Temperatur am besten. Löse die Gleichung (x – 4)2 – x2 = ‒7x – 20 und du erhältst den Wert der Temperatur! Optimale Temperatur: °C Die Streptokokken bestehen aus Zellen mit einem Durchmesser von bis zu 2 μm (2 Mikrometer = 2 μm = 0,000002 m). In welchem Verhältnis steht dieser Durchmesser zum Durchmesser 1) eines Haares (0,06mm), 2) einer Stecknadel (0,4mm) und 3) von Spaghetti (2mm)? Als Noah seine Mutter im Labor besucht, hat es draußen 30°. Im Labor ist es angenehm kühl, denn die Klimaanlage hält die Raumtemperatur bei 18°. Die Mutter von Noah meint scherzhaft: „In unserem Kühlraum ist es noch angenehmer, hier hat es ‒15°.“ a) Stelle die Temperaturunterschiede der drei Orte auf einem Zahlenstrahl dar! Ergänze einen Pfeil, der die Gesamtveränderung von draußen zum Kühlraum darstellt! b) Noah meint: „Somit ist es im Kühlraum um 3° kälter als im Labor.“ Seine Mutter antwortet ihm, dass er einen Denkfehler gemacht hat. Formuliere seine Aussage mathematisch richtig! Guthabenstand Kn nach n Jahren: K n = K 0 · ( 1 + p netto ___ 100 ) n Tipp 12 D A O I 13 D A O I Zinsen für t Tage: Z netto = K 0 · p netto ___ 100 · t ___ 360 Tipp 14 D A O I 15 D A O I 16 D A O I 17 D A O I 18 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Wiederholung Im Anschluss fahren Noah und Sophia mit ihren Eltern auf Urlaub. Finde zu den Termen in der linken Spalte die zugehörigen äquivalenten Terme! Trage die Lösungsbuchstaben in das freie Feld ein und du erhältst das Urlaubsland! 1) (a + b)2 = a2 – 2 ab + b2 T 2) (a + b)(a – b) = a2 – ab U 3) (‒a + b)(a + b) = a2 + b2 I 4) (a – b)2 = a2 b – ab2 L 5) (a – b)·a = a2 – b2 O 6) (a + b)·b = a2 b + ab2 A 7) (a + b)·ab = b2 – a2 R 8) (a – b)·ab = ab + b2 G Urlaubsland: _ _ _ _ _ _ _ _ a2 + 2 ab + b2 P Ordne den Figuren die passende Formel für den Flächeninhalt zu (gehe von den üblichen Beschriftungen aus)! Das Lösungswort verrät den Urlaubsort der Familie. 1 Dreieck A = a·ha oder A = 1 _ 2 ·e·f G Urlaubsort: _ _ _ _ _ _ 2 Quadrat A = a2 A 3 Raute A = 1 _ 2 · a·ha S 4 Parallelogramm A = 1 _ 2 ·(a + c) ·h S 5 Drachen A = 1 _ 2 ·e·f E 6 Trapez A = a·ha R An einem Regentag vertreiben sich die beiden die Zeit mit dem Bauen eines Kartenhauses. Die Spielkarten sind 9 cm lang. Sophia stellt die Karten in einem Winkel von rund 30° aneinander, Noah wählt einen Winkel von 40°. 1) Fertige eine Zeichnung des jeweiligen Dreiecks an, das entsteht, wenn Sophia bzw. Noah ein Kartenhaus aufstellen! Miss die Länge der Basis dieses Dreiecks ab! 2) Berechne die Höhe des jeweiligen Kartenhauses! 3) Beide schaffen vier Stockwerke. Wie hoch sind die beiden Kartenhäuser? Noah hat in einer Zeitschrift gelesen, dass der Goldene Schnitt hilft, dass Fotos harmonischer wirken. Dabei sollten die Seiten in einem gewissen Verhältnis geteilt und das Objekt dementsprechend angeordnet werden. Miss in der Abbildung rechts nach und berechne, ob die längere Seite ungefähr im Verhältnis von b1a1 = a1(a1 + b1) bzw. die kürzere Seite im Verhältnis von b2a2 = a2(a2 + b2) entsprechend dem goldenen Schnitt geteilt wurde! 19 D A O I 20 D A O I 21 D A O I a1 a2 b1 b2 22 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 13 Gegen Ende der Ferien waren die Zwillinge in einem Ferienlager. Damit die Buben und Mädchen einander besser kennenlernen konnten, wurde am Anfang mit allen 80 Teilnehmerinnen und Teilnehmern eine Umfrage durchgeführt. In der Umfrage wurden folgende Merkmale abgefragt: Größe ( ), Alter ( ), Nationalität ( ), Schulstufe ( ), Lieblingsbuch ( ), Zufriedenheit mit der Anreise von sehr gut bis schlecht ( ), Dauer der Anreise ( ), Anzahl der Geschwister ( ). Ergänze in den Klammern „n“, falls es sich um ein nominales Merkmal handelt, „o“ für ein ordinales Merkmal und „m“ für ein metrisches Merkmal! Zu den Merkmalen Alter und Größe der Buben wurde ein Punktwolkendiagramm angefertigt (➞Diagramm rechts). 1) Kreuze die richtigen Aussagen dazu an! A Zwischen Körpergröße und Alter besteht ein positiver Zusammenhang. B Der größte Bub ist 170 cm groß. C Der Modus der Größe liegt bei 125 cm. D Drei Buben sind kleiner als 130 cm. E Die 13-jährigen Buben sind im Mittel 149,83 cm groß. 2) Finde eine geeignete Klasseneinteilung für die Körpergröße und berechne näherungsweise das arithmetische Mittel! Ist es größer oder kleiner als der exakte Wert von 150,02 cm? 3) Fertige ein Histogramm passend zur Klasseneinteilung an! Die Körpergrößen der Mädchen sind im folgenden Stängel-BlattDiagramm dargestellt. 4 5 6 7 9 12 1 1 3 5 6 7 8 9 13 0 2 3 4 6 7 7 7 14 0 1 3 4 4 5 6 8 9 15 2 3 5 5 6 7 8 9 16 1) Wie viele Mädchen haben teilgenommen? 2) Wie groß ist das größte bzw. das kleinste Mädchen? 3) Wie lauten Modus, Median und arithmetisches Mittel? 4) Welche Unterschiede gibt es zwischen den drei Werten? Was kann man daraus schließen? Für die Anfahrtszeiten zum Ferienlager wurde ein Histogramm erstellt. Fülle die Tabelle aus! Berechne näherungsweise das arithmetische Mittel! Dauer in min abs. Häufigkeit relative Häufigkeit 0 ≤ x < 30 30 ≤ x < 60 60 ≤ x < 90 90 ≤ x < 120 120 ≤ x < 150 Summe 23 D A O I Alter in Jahren 120 140 130 150 160 170 8 10 11 12 13 14 15 16 9 Größe in cm 24 D A O I 25 D A O I 26 D A O I Zeit (min) 0 10 5 15 20 25 30 0 30 60 90 120 150 Anzahl der Teilnehmer 15 20 28 12 5 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv
14 Wiederholung Von den Teilnehmerinnen hatten 26 Geschwister und 12 waren Einzelkinder. Bei den Burschen waren 16 Einzelkinder und der Rest hatte Geschwister. 1) Fülle die vorgegebene Kontingenztafel mit den absoluten Häufigkeiten aus! 2) Ergänze eine Kontingenztafel mit den relativen Häufigkeiten! Einzelkind Mädchen Burschen Insgesamt Ja Nein Insgesamt 80 Für einen Ausflug wird ein Bus zu einem Fixpreis von 320€ gemietet. Wie viel Euro muss jeder abhängig von der Anzahl der Teilnehmerinnen und Teilnehmer des Ausflugs bezahlen? 1) Stelle einen passenden Term auf! 2) In welchem Verhältnis stehen „Personenzahl“ und „Kosten pro Person“ zueinander? 3) Wie viele Personen nehmen mindestens teil, wenn die Fahrt pro Person höchstens 12€ kostet? Das Verhältnis der Anzahl der Betreuerinnen zu der Anzahl der Betreuer ist 32. Wie viele Frauen bzw. Männer sind zur Betreuung mit, wenn es insgesamt 25 Erwachsene gibt? Die Kosten K für das Ferienlager setzen sich zusammen aus einer Tagespauschale p von 45 Euro, den Kosten für zubuchbare Extrakurse e unabhängig von der Dauer des Aufenthalts sowie einer einmaligen Buchungsgebühr von 15 Euro. 1) Stelle einen Term für die Kosten, abhängig von den verbrachten Tagen t, auf! 2) Noah belegt einen Reitkurs um 130 Euro und Sophia einen Tenniskurs um 105 Euro. Wie viel Euro müssen ihre Eltern für beide Kinder bezahlen, wenn sie 10 Tage auf dem Ferienlager bleiben? 3) Noahs Freund bezahlte mit dem Tenniskurs 660 Euro. Wie lange war er auf dem Camp? Wo fand das Ferienlager statt? Kreuze an, um welche Termstruktur es sich handelt! Die entsprechenden Buchstaben verraten dir den Veranstaltungsort. Summe Differenz Produkt Quotient 5 y – 10 x ___ 3 L R W G 10 x + 3u E I A R 10 x ___ 3u A L N T 5 ( y – 2 x __ 3 ) T S Z L Veranstaltungsort: _ _ _ _ Bereits letztes Jahr wurde im Ferienlager dieselbe Umfrage gemacht. Der Anbieter möchte überprüfen, ob sich die Zufriedenheit mit der Anreise verbessert hat. Berechne den neuen bzw. ursprünglichen Wert jeweils in einem Schritt! Interpretiere das Ergebnis! Würdest du sagen, dass die Anreise insgesamt angenehmer geworden ist? 1) Letztes Jahr haben 8 Personen „nicht zufrieden“ ausgefüllt. Dieses Jahr sind es 25% mehr. 2) 20 Personen waren dieses Jahr „sehr zufrieden“. Das entspricht einer Erhöhung um 25%. 3) Die meisten haben letztes Jahr „eher zufrieden“ gewählt. Es waren 50 Personen. Dieses Jahr waren es 4% weniger. 27 D A O I 28 D A O I 29 D A O I 30 D A O I 31 D A O I 32 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 15 Zum Abschluss der Ferien fährt die Familie zum Campen. Während Noah und Sophia im Zelt übernachten, schlafen die Eltern in einer kleinen Hütte (➞ Abbildung rechts). Die Hütte sieht von vorne wie ein gleichschenkliges Dreieck aus. Welche Dreiecke in der Hausfront sind zueinander ähnlich? Markiere sie im Bild und begründe deine Antwort! Die Abbildung rechts zeigt Noahs und Sophias Zelt. 1) Wie lang sind die schrägen Kanten des Zeltes? 2) Wie viel Quadratmeter Zelttuch benötigt man mindestens (ohne Boden)? Neben dem Zelt steht eine hohe Fichte. Sophia möchte gerne wissen, wie hoch der Baum ist. Ihr Vater kennt einen Trick, wie sie die Höhe ungefähr bestimmen können. Der Vater legt sich ca. 15 m vom Baum entfernt auf den Boden und fixiert mit seinem Blick die Baumspitze. Sophia geht vom Vater soweit weg in Richtung Baum, bis er über ihrem Kopf die Baumspitze gerade noch sehen kann. Die Entfernung zwischen Sophia und ihrem Vater beträgt 1 m. Sophia ist 1,50 m groß. Berechne die ungefähre Höhe des Baumes! Etwas weiter entfernt im Wald finden sie eine vom Sturm umgeknickte Fichte. Der Baum ist in einer Höhe h = 1,84 m geknickt und die Spitze liegt in einem Abstand von a = 3 m vom Stamm entfernt. Berechne die ursprüngliche Höhe des Baumes! In einer Broschüre liest Sophia, dass die Waldfläche Österreichs von 3,62 Mio. Hektar in den 1960er- Jahren auf 4,02 Mio. Hektar im Jahr 2015 angestiegen ist (Quelle: Statistia, 2019). Die Fläche Österreichs beträgt 8,4 Mio. Hektar. 1) Wie viel Prozent der Staatsfläche nahm der Wald in den 1960er-Jahren ein? 2) Um wie viele Prozentpunkte nahm die Waldfläche in den letzten Jahrzehnten zu? Auf dem Campingplatz befindet sich auch ein kleines Kinderschwimmbecken. Es hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks. Noah durchquert das Becken einmal und schätzt die Länge auf rund 3,5 m. Sophia umrundet das Becken und schätzt den Umfang auf ca. 12 m. Welchen Flächeninhalt hat die Abdeckplane des Schwimmbeckens ungefähr? 33 D A O I Zeichne Hilfspunkte ein! Tipp 34 D A O I 1,6 m 2,4 m α α 35 D A O I 15 m 1 m a h 36 D A O I 37 D A O I 3,5 m a a = r a a a r r a ha 38 D A O I Nur z Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
Reelle Zahlen A 16 Reelle Zahlen Die Freundschaft von Zahlen Die Griechen der Antike nannten die Welt „Kosmos“, was zugleich „Ordnung“ bedeutet. Ihre Überzeugung war, die Welt sei nach ewig bestehenden Proportionen, den Verhältnissen ganzer Zahlen, errichtet. Diese Sicht führte sogar so weit, dass einige Schüler des Pythagoras meinten, dass auch die Freundschaft zwischen Menschen zahlenmäßig angegeben werden könnte. Dieses Verhältnis glaubten sie in den Zahlen 220 und 248 gefunden zu haben. Denn die Zahl 220 hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110. Die Summe dieser Zahlen ist 284. Die Zahl 284 wiederum hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 71 und 142. Und die Summe dieser Zahlen ist 220! Daher heißen solche Zahlenpaare heute noch „befreundete“ Zahlen. Freundschaft einmal anders gedacht: Die Zahlen 0 und 8 sind gute Freunde und gehen miteinander spazieren. Plötzlich fragt die Acht: „Warum denkst du, sind wir so gute Freunde?“ Darauf meint die Null: „Tja, wir sind fast gleich. Du hast nur eine viel schmalere Taille.“ Widerspruch zur pythagoreischen Lehre Das Wort „Bruch“ kannten die Pythagoreer nicht, sondern sie sprachen immer von „Verhältnissen“, wofür sie die natürlichen Zahlen brauchten. Sie waren überzeugt, dass diese Verhältnisse immer als Quotienten zweier natürlicher Zahlen darstellbar sind. Ausgerechnet ein Pythagoreer, nämlich Hippasos von Metapont soll es gewesen sein, der zu Beginn des 5. Jahrhunderts vor Chr. als Erster erkannte, dass das Längenverhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines regelmäßigen Fünfecks oder eines Quadrats nicht durch das Verhältnis natürlicher Zahlen, also als rationale Zahl, angegeben werden kann. Da er diese Entdeckung veröffentlichte, wurde er angeblich des Verrates bezichtigt und aus dem Geheimbund der Pythagoreer ausgeschlossen. Hippasos kann also als der Entdecker der irrationalen Zahlen bezeichnet werden, eine Entdeckung, die zu einer „Grundlagenkrise“ in der damaligen griechischen Mathematik führte. Das Bild zeigt ein regelmäßiges Fünfeck und eine seiner Diagonalen. Das Verhältnis der beiden rot markierten Streckenlängen ist nicht rational. Zeichne die anderen Diagonalen des Fünfecks ein! Weißt du noch, wie die nun entstandene Figur genannt wird? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A 17 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Berechnen von Quadratwurzeln • Rechnen mit Quadratwurzeln • graphisches Darstellen von Quadratwurzeln • Berechnen von Kubikwurzeln • Eigenschaften reeller Zahlen • Überblick über die Zahlenbereiche Bisweilen ist das Wurzelziehen beim Zahnarzt, im Garten und in der Mathematik notwendig. Sokrates und Euklid über die (Ir-)Rationalität Hundert Jahre später beschreibt der griechische Philosoph Platon (427–347 vor Chr.) einen Dialog des Philosophen Sokrates (470–399 vor Chr.), mit einem Mann namens Menon aus Thessaloniki. Das Gespräch beginnt mit der Feststellung, dass das Quadrat mit 2m Seitenlänge einen Flächen- inhalt von 4m2 hat (Figur 1). Gezielt führt Sokrates den „Schüler“ zur Erkenntnis, dass ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge (4m) nicht den doppelten Flächeninhalt von 8m2, sondern den vierfachen Flächeninhalt von 16m2 (Figur 2) hat. „Welche Seitenlänge hat dann das Quadrat mit 8m2 Flächeninhalt?“ fragt Sokrates weiter. Als Hilfe hat er vielleicht Figur 3 gezeichnet. Die Seitenlänge muss größer als 2m und kleiner als 4m sein. Sie ist sogar kleiner als 3m, denn ein Quadrat mit der Seitenlänge von 3m hätte den Flächeninhalt von 9m2. Wie lang ist sie wirklich? Für die griechischen Mathematiker stellte sich die Frage, ob diese Zahl zwischen 2 und 3 eine rationale Zahl, daher ein Quotient zweier ganzer Zahlen ist. Das lateinische Wort „ratio“ hat in dem Zusammenhang die Bedeutung „Verhältnis“. Der berühmte griechische Mathematiker Euklid (um 300 vor Chr.) konnte schließlich zeigen, dass diese Zahl keine rationale Zahl sein kann (also eine „irrationale“ Zahl sein muss). Einen Beweis findest du auf Seite 21 in diesem Buch. 2 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m ? ? Figur 1 Figur 2 Figur 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen A1 18 1 Quadratwurzel 1.1 Einführung der Quadratwurzel Benedikt entdeckt im Baumarkt schöne quadratische Fliesen. In einer Packung sind 12 Fliesen enthalten. Es ist angegeben, dass man damit eine Fläche von 0,72m2 = dm2 verfliesen kann. Eine Fliese hat daher einen Flächeninhalt von dm2. Er möchte nun die Seitenlänge einer solchen Fliese berechnen. Benedikt sucht also die Zahl, deren Quadrat 6 ist. Mit Hilfe des Taschenrechners findet er heraus, dass die Seitenlänge einer Fliese rund dm beträgt. Das Berechnen der (Quadrat-) Wurzel heißt Wurzelziehen und ist die Umkehrung des Quadrierens. Hinweis Es gibt immer zwei Lösungen bei Gleichungen der Art x 2 = 9, hier die Lösungen x = + 3 und x = ‒3, weil auch (‒3) · (‒3) = 9 ist. Die Quadratwurzel ist allerdings immer eindeutig als nichtnegative Zahl festgelegt, daher ist √ _ 9= + 3. Berechne ohne TR! 1) 12 = √ _ 1 = 4) 42 = √ __ 16 = 7) 72 = √ __ 49 = 10) 102 = √ ___ 100 = 2) 22 = √ _ 4 = 5) 52 = √ __ 25 = 8) 82 = √ __ 64 = 11) 112 = √ ___ 121 = 3) 32 = √ _ 9 = 6) 62 = √ __ 36 = 9) 92 = √ __ 81 = 12) 122 = √ ___ 144 = 1) Berechne ohne TR! 2) Schreibe die Rechnung in Worten auf! Verwende dazu den Sprachbaustein! a) 52, ( √ _ 5)2, √ __ 52 , ( √ __ 25)2 b) 62, ( √ _ 6)2, √ __ 62 , ( √ __ 36)2 Ordne das passende Ergebnis zu! a) 1 3 A 9 2 b) 1 16 A √ _ 4 2 9 B √ _ 9 2 4 B 4 2 3 81 C √ __ 9 2 3 2 C ( √ _ 4 ) 2 interaktive Vorübung 57f6bb AH S. 10 Eine Zahl x heißt (Quadrat-) Wurzel einer Zahl a, wenn x 2 = a ist. x 2 = a É x = √ __ a (mit a, x ≥ 0) Für a ≥ 0 gilt: √ __ a 2= ( √ __ a ) 2 = a Quadratwurzel 39 D A O I 40 D A O I x 2: x zum Quadrat ergibt /x hoch 2 ist √ _ x: Die Quadratwurzel aus x ergibt . Zieht man die Wurzel aus x, erhält man die Zahl . Sprachbaustein 41 D A O I Für nichtnegative Zahlen gilt: Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Das Quadrieren ist die Umkehrung des Quadratwurzelziehens. Quadrieren z z2 Quadratwurzelziehen Zusammenhang zwischen Quadratwurzelziehen und Quadrieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A1 Quadratwurzel 19 1) Berechne die Ergebnisse ohne TR! 2) Betrachte die Anzahl der Nachkommastellen vor und nach der Rechnung! Welchen Zusammenhang stellst du fest? 0,1 2 = 0,01 √ _____ 0,0036= 0,06 √ ___ 0,81= √ _____ 0,0049= 0,5 2 = √ ___ 0,16= √ _____ 0,0004= √ _____ 0,0064= 0,05 2 = √ ___ 0,36= √ _____ 0,0016= √ _____ 0,0144= Schätze zuerst das Ergebnis! Verwende dann den TR und ermittle die Wurzel! a) √ _____ 1,5625 = b) √ ___ 5,29 = c) √ _____ 6,4516 = d) √ ______ 18,3184 = e) √ _____ 136,89= Berechne die Seitenlänge a des Quadrats mit dem angegebenen Flächeninhalt! a) 576m2 b) 1 296 cm2 c) 72,25 a d) 37,21 dm2 e) 10 ha 30 a 41m2 1) Wie lautet das Quadrat von a) ‒1, b) ‒3, c) ‒5? 2) Ziehe die Wurzel aus a) 1, b) 9, c) 25! 3) Wie lautet die Wurzel aus a) ‒1, b) ‒9, c) ‒25? 4) Aus welchen Zahlen kann die Quadratwurzel gezogen werden? Begründe deine Antwort! Heron’sches Wurzelziehen Das Heron-Verfahren geht auf den griechischen Mathematiker Heron von Alexandria zurück. Die Wurzel aus einer Zahl A entspricht der Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt A. Beim Heron’schen Verfahren wird ein Rechteck schrittweise durch flächengleiche Rechtecke ersetzt, die immer „quadratähnlicher“ werden. Vorgehensweise für zB √ __ 12: Wähle die Länge x und die Breite y eines Rechtecks so, dass man den Flächeninhalt A = 12 erhält zB: x = 6 und y = 2 (➞ grünes Rechteck) Bilde jetzt den Mittelwert aus der Länge x und der Breite y: x + y ___ 2 = 6 + 2 ___ 2 = 4 (= neue Länge) Die neue Breite erhältst du durch Division (also 124 = 3, Rechteck orange). Dieses neue Rechteck ist schon etwas „quadratischer“ als das vorherige. Führt man diese Schritte mehrmals hintereinander aus (blaues Rechteck entspricht dem nächsten Schritt), so erhält man eine gute Näherung für √ __ 12. 1) Fülle die Tabelle aus und ermittle dadurch Näherungen für die Wurzeln! 2) Zeichne die auftretenden, flächengleichen Rechtecke! Mittelwert x + y ___ 2 neue Seitenlängen neuer Mittelwert neue Seitenlängen a) √ __ 18 x = 6 y = 3 b) √ __ 24 x = 6 y = 4 c) √ __ 60 x = 10 y = 6 42 D A O I 43 D A O I 44 D A O I 45 D A O I 46 D A O I 6 4 3 3,5 3,4286 √12 2 √12 Beispiel √ ____ 11,56 Schätzung: 3 < √ ____ 11,56< 4, weil 3 2 = 9 und 4 2 = 16 Rechnung mit TR: √ ____ 11,56= 3,4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen A1 20 1.2 Irrationale Zahlen Lotte hat entdeckt, dass die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nur selten wieder eine natürliche Zahl ergibt. In vielen Fällen erhält sie eine Dezimalzahl am Taschenrechner. Für die Wurzel aus Quadratzahlen, also 1, 4, , 16, , …, erhält man immer eine natürliche Zahl als Ergebnis. Für die Wurzel aus 10 erhält Lotte auf dem TR: √ __ 10 ≈ 3,16227766. Als sie die gleiche Rechnung in den TR ihres Computers eintippt, erhält Lotte: √ __ 10 ≈ 3,162277660168379. Welches Ergebnis ist das richtige? Lotte ist sich sicher, dass das Ergebnis ungefähr stimmen muss, denn die Wurzel aus 10 liegt zwischen 3 und 4, also 3 < √ __ 10< 4. Die Zahlen 3 und 4 sind Schranken für √ __ 10. Tatsächlich hat die Quadratwurzel aus 10 unendlich viele Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. Der TR und auch der PC geben immer ein gerundetes Ergebnis an, da sie nur eine fixe Anzahl von Stellen (zB 8 oder mehr, aber niemals unendlich viele) anzeigen können. Hinweis Einen Beweis dafür findest du auf Seite 21. Wie lauten die ersten 20 Quadratzahlen? Warum muss die Wurzel aus einer Quadratzahl sicher eine natürliche Zahl sein? Zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt a) √ __ 55, b) √ __ 70, c) √ ___ 120, d) √ ___ 217? Grenze die angegebene Wurzel mit Hilfe einer Ungleichungskette ein! Wurden die Schranken richtig gewählt? Kreuze an! a) A 3 < √ _ 8< 4 B 5 < √ __ 30< 6 C 8 < √ __ 60< 9 D 10 < √ ___ 102< 11 b) A 4 < √ __ 18< 5 B 8 < √ __ 70< 9 C 11 < √ ___ 120< 12 D 13 < √ ___ 176< 14 Die Quadratwurzeln welcher natürlichen Zahlen liegen zwischen den angegebenen Zahlenpaaren? a) 3 und 4 b) 4 und 5 c) 6 und 7 d) 8 und 9 e) 11 und 12 Welche der folgenden Wurzeln kann man genau angeben und bei welchen muss man sich mit einem Näherungswert begnügen? a) 1) √ ____ 1764 2) √ _ 6 3) √ __ 15 4) √ _____ 0,014 4 5) √ ____ 0,144 b) 1) √ ____ 35,12 2) √ _____ 4,9284 3) √ __ 20 4) √ _______ 4,473225 5) √ ___ 1,44 Eine irrationale Zahl hat unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl (Wurzel aus einer Quadratzahl) oder eine irrationale Zahl (Wurzel aus allen anderen natürlichen Zahlen). Irrationale Zahlen 47 D A O I 48 D A O I Beispiel √ __ 33 : 52 = 25, 62 = 36, 5 < √ __ 33< 6 49 D A O I 50 D A O I Beispiel 2 und 3 2 2 < n < 3 2 w 4 < n < 9 w √ _ 5, √ _ 6, √ _ 7, √ _ 8 51 D A O I Arbeitsblatt d9b8d3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A1 Quadratwurzel 21 Gib möglichst genaue Schranken (drei Nachkommastellen) mit Hilfe des Heron’schen Verfahrens (➞ Aufgabe 46) für a) √ __ 20, b) √ __ 54, c) √ __ 90an! Bea meint: „Der Taschenrechner schreibt √ _ 8= 2,828427125 und diese Zahl kann ich schreiben als 2 828 427125 ________ 1 000 000 000. Also ist √ _ 8eine rationale Zahl, weil man sie als Bruch schreiben kann.“ Was entgegnest du dieser Aussage? Welche beiden Ergebnisse sind irrational? Kreuze an und begründe deine Wahl! a) A 3· √ _ 4 B √ __ 18 – 5 C √ __ 17 · √ __ 17 D √ _ 3 – √ _ 3 E √ __ 80 – √ __ 20 b) A √ _ 9 – 3 B 3· √ _ 3 C √ __ 10 + √ __ 10 D ( √ _ 2)2 E √ _ 5 __ √ _ 5 Das linke Quadrat (➞ Abbildung) hat einen Flächeninhalt von 4m2. Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den doppelten Flächeninhalt hat? Die rechte Figur soll dir bei der Beantwortung dieser Frage helfen. Erkläre diese Figur (➞ Seite 17)! Beweis, dass √ __ n(n * ℕ) eine irrationale Zahl oder eine natürliche Zahl ist Die Quadratwurzel aus zB 2 ist eine irrationale Zahl, da 2 keine Quadratzahl ist. Diese Aussage muss in der Mathematik allerdings bewiesen werden. Für den Spezialfall „2“ bewies dies bereits Euklid von Alexandria (3 Jh. v. Chr.). Ein allgemeiner Beweis folgt aus der Vorüberlegung: Wenn eine Primzahl p ein Produkt von Faktoren teilt, dann muss diese Primzahl mindestens einen Faktor teilen: p 1 a·b w p 1 a oder p 1 b (eine unzerlegbare Primzahl kann ja nicht zu einem Teil in einem Faktor und zum anderen Teil im anderen Faktor enthalten sein!) ZB 2 1 6 = 2·3 w 2 1 2 oder 2 1 3 (2 1 2…wahre Aussage) Beweis: Wenn √ __ n= a _ b(a, b * ℤ + ) gilt, √ __ nalso eine rationale Zahl wäre, dann kann man den Bruch auch so weit kürzen, dass man ggT (a, b) = 1 annehmen kann. Durch Quadrieren und Multiplizieren mit b 2erhält man √ __ n= a _ b w n = a 2 __ b 2 w n· b 2 = a 2. Wenn nun b einen Primteiler p hätte, müsste dieser also das Produkt a·a teilen, und nach der Überlegung oben auch a teilen. Dann könnte man den Bruch a _ bdurch p kürzen, was aber wegen ggT (a, b) = 1 nicht sein kann. Daher kann b keine Primteiler haben und muss 1 sein; dh. wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational ist, muss sie schon eine natürliche Zahl sein: √ __ n= a _ 1= a * N Das ist gleichbedeutend mit: Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nicht selbst eine natürliche Zahl ist (wie bei den Quadratzahlen), dann muss die Wurzel eine irrationale Zahl sein. 1) Führe die Primfaktorenzerlegung für a) 34, b) 35, c) 80 durch! 2) Zerlege die Zahlen a) 34, b) 35, c) 80 in beliebige Produkte und überzeuge dich, dass die Primfaktoren entweder in dem einen Faktor oder im anderen Faktor (oder in beiden) vorkommen! Führe den Beweis oben für den Spezialfall n = 2! Schreibe den Beweis dabei Schritt für Schritt auf und versuche die Erklärungen in eigene Worte zu fassen! 52 D A O I 53 D A O I 2 m 4 m 2 m 4 m ? ? 54 D A O I 55 D A O I 56 D A O I 57 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen A1 22 1.3 Rechnen mit Quadratwurzeln Im Unterricht ist die Frage aufgetaucht, ob die Wurzel aus einer Summe gleich der Summe der Wurzeln aus den einzelnen Summanden ist: √ ____ a + b = √ __ a+ √ __ b Leon erinnert sich, dass man zum Widerlegen einer Behauptung nur ein Gegenbeispiel finden muss. Dazu wählt Leon die Zahlen a = 9 und b = 16. Daraus ergibt sich √ ________ 9 + = √ ______ = bzw. √ _ 9+ √ __ 16= 3 + = . Somit muss obige Beziehung falsch sein. Für den Beweis einer Behauptung reicht es nicht, Zahlen einzusetzen, denn diese muss allgemein begründet werden. Ist zB √ ___ a·b= √ __ a · √ __ b? Leon quadriert beide Seiten (Äquivalenzumformung, da beide Seiten nicht negativ) und erhält für die linke Seite ( √ ___ a·b ) 2 = a·b und für die rechte Seite ( √ __ a · √ __ b ) 2 = √ __ a · √ __ b · √ __ a · √ __ b= √ __ a · √ __ a · √ __ b · √ __ b = ( √ __ a) 2 · ( √ __ b) 2 = a·b. Somit gilt diese Rechenregel allgemein für a, b ≥ 0 . a) Zeige, dass die Wurzel aus einer Differenz im Allgemeinen nicht gleich der Wurzel aus dem Minuenden minus der Wurzel aus dem Subtrahenden ist! b) Schreibe diesen Zusammenhang mit Variablen auf! Zeige durch Quadrieren! a) √ ____ a + b ≠ √ __ a+ √ __ b (a, b > 0) c) √ ____ a – b ≠ √ __ a – √ __ b (a > b > 0) b) √ _____ a 2 + b 2 ≠ a + b (a, b > 0) d) √ _____ a 2 – b 2 ≠ a – b (a > b > 0) Zeige durch Quadrieren, dass die Wurzel eines Quotienten gleich der Wurzel aus dem Zähler durch die Wurzel aus dem Nenner ist! Berechne durch geschicktes Zerlegen ohne TR! a) √ ____ 2 500= c) √ _____ 10 000= e) √ _____ 40 000= g) √ _______ 4 000 000= b) √ ____ 8100= d) √ ___ 900 = f) √ ______ 250 000 = h) √ _______ 36 000 000= Ziehe die Wurzel und berechne ohne Hilfe des TR! a) √ ___ 100 ___ 25 = b) √ ____ 400 ___ 1 600 = c) √ ____ 900 ____ 40 000 = d) √ __ 36 __ 64 = e) √ ___ 169 ___ 49 = f) √ ___ 81 ___ 144 = g) √ ___ 225 ___ 121 = Für jedes rechtwinklige Dreieck mit γ = 90° gilt der Satz des Pythagoras √ _____ a 2 + b 2= c. Würde √ ____ a + b= √ __ a+ √ __ bgelten, welche Beziehung ergäbe sich dann für die Hypotenuse c? Begründe, warum dies nicht stimmen kann! ? Quadratwurzel von Produkten √ ___ a·b= √ __ a · √ __ b Quadratwurzel von Quotienten √ __ a _ b= √ __ a __ √ __ b (b > 0) ABER: Quadratwurzel von Summen/Differenzen √ ____ a ± b ≠ √ __ a ± √ __ b (a > b > 0) Rechenregeln für Quadratwurzeln (a, b ≥ 0) 58 D A O I Verwende auf der rechten Seite die binomischen Formeln! Tipp 59 D A O I 60 D A O I 61 D A O I Beispiel √ ____ 6 400= √ ______ 100 · 64 = √ ___ 100 · √ __ 64 = 10 · 8 = 80 62 D A O I 63 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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