Mathematik verstehen 5, Schulbuch

16 1 ZaHlEN UNd ZaHlENmENgEN 1 . 3 BEtRägE UNd INtERvallE Betrag einer Zahl Die Zahlen +5 und –5 unterscheiden sich nur im vorzeichen, haben aber den gleichen „Betrag“. Mathematisch kann dieser Begriff so definiert werden: Definition Unter dem Absolutbetrag oder kurz Betrag einer reellen Zahl a versteht man: † a † = { a, falls a º 0 – a, fa lls a < 0 [Lies: Betrag von a] BEISpIElE : † 5 † = 5, † – 3 † = – (– 3) = 3, † 0 † = 0 Auf einer Zahlengeraden kann |a| als Abstand des Punktes a vom Nullpunkt interpretiert werden. Da ein Abstand nicht negativ sein kann, ist stets † a † º 0. Für a > 0gilt: † x † < a bedeutet: Der Abstand der Zahl x von 0 ist kleiner als a. Also: † x † < a É – a < x < a † x † º a bedeutet: Der Abstand der Zahl x von 0 beträgt mindestens a. Also: † x † º a É (x ª – a) = ( x º a) Allgemein kann auf einer Zahlengeraden |b – a| als Abstand der Punkte a und b interpretiert werden. Es ist † b – a † = † a – b † , zB † 5 – 3 † = † 2 † = 2 und † 3 – 5 † = † – 2 † = 2. AUFgabEN 1 . 28 Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an! a) † (– 3) – (–7) † = – 4  b) † – 9 _ 5 † = † 9 _ 5 †  † – 9 _ 9 † = 3  † – 3 2 † > † (– 3) 2 †  † (– 4) 2 † = 16  † (– 3) 2 † = – † 3 2 †  † (–1) 3 † = –1  † (– 3) 2 † = † 3 2 †  † 0 † = 0  † (– 3) 2 † = † – 3 2 †  1 . 29 Kreuze die Aussagen an, die für alle a, b * ℝ gelten! a) a = b w † a † = † b †  b) a > b w † a † > † b †  † a † = † b † w a = b  a < b w † – a † < † –b †  a = –b w † a † = † b †  † a † = † –b † w † a † = † b †  † a † = † b † w a = –b  † a † = † b † w † – a † = † b †  † a † = 0 w a = 0  † a † = † b † w † – a † = † –b †  1 . 30 Stelle die folgende Ungleichung ohne Betrag dar! a) † x † < 3 _ 2 b) † x † > 1 c) † x † ª 4 d) † x † º 1,8 1 . 31 Schreibe als Betragsungleichung an: a) – 5 < x < 5 b) x ª – 7 _ 8 = x º 7 _ 8 R 0 a † a † 0 a a negativ: a positiv: † a † –a 0 a –a 0 a R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rl gs öbv