Mathematik verstehen 6, Schulbuch

284 aNhaNg zu 7.2 (seite 134) satz Jede konvergente Folge ist beschränkt . BeWeis : Sei (a n 1 n * N *) eine konvergente Folge mit lim n ¥ • a n = a. Dann können wir zu dem speziellen Wert ε = 1 einen Index n 0 * N * finden, sodass für alle n º n 0 gilt: † a n – a † < 1 É –1 < a n – a < 1 É a – 1 < a n < a + 1. Daraus folgt: Die kleinste Zahl unter den Zahlen a 1 , a 2 , …, a n 0 – 1 , a – 1 ist eine untere Schranke der Folge. Die größte Zahl unter den Zahlen a 1 , a 2 , …, a n 0 – 1 , a + 1 ist eine obere Schranke der Folge. c zu 7.4 (seite 140) satz Eine geometrische Folge (b n 1 n * ℕ ) mit b n = c · q n ist (1) beschränkt , wenn † q † ª 1 , (2) nicht beschränkt , wenn † q † > 1 . BeWeis : Es gilt † b n † = † c · q n † = † c † · † q n † = † c † · † q † n (1) Ist † q † ª 1, dann ist † q † n ª 1 (vgl. Seite 21). Somit folgt 0 ª † b n † ª † c † für alle n * N . (2) Ist † q † > 1, dann genügt es zu zeigen, dass † q † n ab einem gewissen Index jede noch so große reelle Zahl K übersteigt: † q † n > K É n · log 10 † q † > log 10 K É n > log 10 K __ log 10 † q † Wählen wir also einen Index n 0 > log 10 K __ log 10 † q † , dann ist † q † n > K für alle n º n 0 . c zu 8.1 (seite 154 und 155) satz Ist a 1 + a 2 + … + a n eine endliche arithmetische reihe , so gilt für ihre Summe S: s = n _ 2 · (a 1 + a n ) BeWeis : Sei k die Differenz aufeinander folgender Glieder. Wir fassen das erste und das letzte, das zweite und das vorletzte, das dritte und vorvorletzte Glied usw. zusammen: a 1 + a 2 + a 3 + … + a n – 2 + a n – 1 + a n a 1 + a n a 2 + a n – 1 = (a 1 + k) + (a n – k) = a 1 + a n a 3 + a n – 2 = (a 1 + 2k) + (a n – 2k) = a 1 + a n usw. Die beiden zusammengefassten Glieder ergeben jeweils a 1 + a n . Ist n gerade, so werden n _ 2 Zusammenfassungen vorgenommen. Somit gilt: a 1 + a 2 + … + a n = n _ 2 · (a 1 + a n ) Ist n ungerade, so werden n – 1 _ 2 Zusammenfassungen vorgenommen und das mittlere Glied bleibt übrig. Wegen der konstanten Differenz aufeinander folgender Glieder ist dies der Mittelwert von a 1 und a n . Somit gilt: a 1 + a 2 + … + a n = n – 1 _ 2 · (a 1 + a n ) + a 1 + a n _ 2 = (n – 1) · (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) ____ 2 = n · (a 1 + a n ) __ 2 = n _ 2 · (a 1 + a n ) c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv