Mathematik verstehen 6, Schulbuch

94 5 Winkelfunkt ionen 5 . 2 Drehbewegungen Drehsinn und Drehwinkelmaß Ein punktförmig kleiner Körper bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0) und dem Radius r, beginnend im Punkt P 0 = (r 1 0). Man kann sich darunter zum Beispiel die Bewegung der Spitze des Minutenzeigers einer Uhr vorstellen. Um eine solche Bewegung zu beschreiben, gibt man den Drehsinn und das Drehwinkelmaß an. In der Mathematik ist es üblich, eine Drehung im gegenuhrzeigersinn als Drehung im positiven Drehsinn zu bezeichnen, eine Drehung im Uhrzeigersinn als Drehung im negativen Drehsinn (siehe Abb. 5.1 a, b). Das Drehwinkelmaß ist das Maß des bei der Bewegung zurückgelegten Win- kels (im Grad- oder Bogenmaß). Bei positivem Drehsinn erhält das Drehwinkelmaß ein positives vorzeichen, bei negativem Drehsinn ein negatives. Abb. 5.1 a Abb. 5.1 b Abb. 5.1 c Abb. 5.1 d positiver Drehsinn negativer Drehsinn Drehung über 360° Drehung über –360° hinaus hinaus Wenn der Körper im positiven Drehsinn einen vollen Umlauf zurücklegt, beträgt das Drehwinkel- maß 360°. Drehungen über einen vollen Umlauf hinaus werden sinnvollerweise durch Winkel­ maße größer als 360° bzw. 2 π beschrieben (Abb. 5.1 c). Wenn der Körper im negativen Drehsinn einen vollen Umlauf zurücklegt, beträgt das Drehwinkelmaß –360°. Wenn sich der Körper weiter dreht, ist es sinnvoll, auch Winkelmaße zuzulassen, die kleiner als –360° bzw. –2 π sind (Abb. 5.1d). 5 . 05 Ein punktförmiger Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0), beginnend im Punkt P 0 = (5 1 0). Gib die Polarkoordinaten [r 1 φ ] des Punktes P an, nachdem er eine Drehung um a) 390°, b) –780° ausgeführt hat! lösung: a) Das positive vorzeichen des Drehwinkelmaßes bedeutet eine Bewegung im Gegenuhrzeigersinn. Insgesamt führt der Körper eine volle Drehung (360°) und eine Drehung um 30° aus. Das Polarwinkelmaß φ von P liegt im Intervall [0°; 360°). Wir erhalten dieses, indem wir von 390° das Gradmaß einer vollen Umdrehung (360°) abziehen: φ = 390° – 360° = 30° Somit ergibt sich: P = [5 1 30°] b) Das negative vorzeichen des Drehwinkelmaßes bedeutet eine Bewegung im Uhrzeigersinn. Insgesamt führt der Körper zwei volle Drehungen (– 2 · 360°) und eine Drehung um –60° aus. Das Polarwinkelmaß φ von P erhalten wir, indem wir zu –780° das Gradmaß dreier voller Umdrehungen (3 · 360°) addieren: φ = –780° + 3 · 360° = 300° Somit ergibt sich: P = [5 1 300°] R 60° P 1. A. 2. A. P 0 0 – 60° P 1. A. 2. A. P 0 0 60° 420° P 1. A. 2. A. P 0 0 – 60° – 420° P 1. A. 2. A. P 0 0 Ó applet zk67na 390° P P 0 0 30° 5 1. A. 2. A. P P 0 0 5 300° 1. A. 2. A. –780° Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv