104 5 ell ipse , hyperbel und Parabel tangente in einem Punkt t einer ellipse Definition Eine Gerade t, die mit einer Ellipse nur einen Punkt T gemeinsam hat, bezeichnet man als tangente an die Ellipse im Punkt T. satz (spaltform der tangentengleichung) Eine gleichung der tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der Ellipse b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2lautet: b 2 x tx + a 2 y ty = a 2b 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man in der Ellipsengleichung die Quadrate x 2und y 2folgendermaßen „aufspaltet“: ell: b 2· x 2 + a 2· y 2 = a 2 b 2 t: b 2· x T· x + a 2· y T· y = a 2 b 2 1223425 1223425 Ein Beweis dieser Spaltform findet sich im Anhang auf Seite 260. 5 . 23 Gegeben ist die Ellipse ell: 2x 2+ 3y 2= 77. Gib eine Gleichung der Tangente im Ellipsenpunkt T = (5 1 t 2) mit t 2> 0 an! lösung: Aus der Ellipsengleichung folgt y = ± 9 ____ 77 – 2x 2 __ 3 und somit t 2= ± 9 _____ 77 – 2 · 5 2 __ 3 = ± 3. Wegen t 2> 0 ist T = (5 1 3). Eine Gleichung der Tangente an die Ellipse in T lautet: t: 2 · 5 · x + 3 · 3 · y = 77 t: 10x + 9y = 77 Mit Technologieeinsatz lässt sich eine Tangentengleichung ebenso ermitteln. aufgaben 5 . 24 Gib Gleichungen der Tangenten in den Punkten T = (t 1 1 t 2) und T’ = (– t 1 1 – t 2) der Ellipse ell an! a) ell: x 2+ 5y 2= 29, T = (3 1 t 2) mit t 2> 0 b) ell: 2x 2+ 3y 2= 75, T = (t 1 1 –1) mit t 1> 0 c) ell: 4x 2+ 25y 2= 200, T = (– 5 1 t 2) mit t 2> 0 d) ell: x 2+ 9y 2= 10, T = (1 1 t 2) mit t 2> 0 e) ell: 3x 2+ 5y 2= 192, T = (t 1 1 – 6) mit t 1< 0 5 . 25 Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente im Ellipsenpunkt T mit den positiven Koordinatenachsen einschließt! a) ell: x 2+ 3y 2= 84, T = (6 1 4) b) ell: x 2+ 4y 2= 360, T = (18 1 3) 5 . 26 Die Tangente im Punkt P der Ellipse ell schneidet die beiden Ellipsentangenten, die durch die hauptscheitel A und A’ gehen, in den Punkten S und S’. Berechne S und S’ und zeige, dass S, S’ und die Brennpunkte F und F’ der Ellipse auf einem Kreis liegen! a) ell: 3x2 + 4y2 = 48, P = (2 1 3) b) ell: x2 + 2y2 = 144, P = (– 4 1 8) y x T t kompakt seite 115 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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