140 7 ERWeITeRUNG DeR DIFFeReNTIALReChNUNG lerNz iele 7.1 Weitere Funktionen ableiten können (Quadratwurzelfunktion, exponentialfunktionen, sinus- und cosinusfunktion). 7. 2 Weitere ableitungsregeln kennen und anwenden können (Produktregel, Quotientenregel, ableitung der tangensfunktion). 7. 3 rationale Funktionen kennen, ableiten und untersuchen können. 7. 4 verkettungen von Funktionen ableiten können; die Kettenregel kennen. 7. 5 Umkehrfunktionen ableiten können, die Umkehrregel kennen. logarithmusfunktionen ableiten können. 7. 6 Änderungsgeschwindigkeiten berechnen können. KompetenzcheckgrUNDKoMPeteNzeN Charakteristische Eigenschaften […; [e x] ’ = e x ] kennen und im Kontext deuten können. Wissen, dass gilt: [sin(x)]’ = cos(x); [cos(x)]’ = – sin(x). Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. einfache regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k · f(x)]’ und [f(k · x)]’. Kettenregel kennen und anwenden können. 7.1 aBleitungen weiterer Funktionen ableitung der Quadratwurzelfunktion satz (ableitungsregel für die Quadratwurzelfunktion) f(x) = 9_ x w f’(x) = 1 _ 2 9_ x Beweis : f(z) – f(x) __ z – x = 9_ z– 9_ x _ z – x = 9_ z– 9_ x __ ( 9_ z) 2– ( 9_ x)2 = 9_ z– 9_ x ___ ( 9_ z– 9 x) · ( 9 z+ 9_ x) = 1 _ 9_ z+ 9_ x f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x 1 _ 9_ z+ 9_ x = 1 _ 2 · 9_ x 7. 01 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 8x 2– 2 · 9_ x . Ermittle f’(x)! lösung: f’(x) = 16x – 2 · 1 _ 2 · 9_ x = 16x – 1 _ 9_ x aufgaBen 7. 02 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 10 · 9_ x b) f(x) = – 9_ x c) f(x) = x + x 1 _ 2 d) f(x) = 2x – 3 · 9 _ x Fa-r 5 . 4 Fa-r 6 . 6 aN-r 1 . 3 aN-r 2 .1 aN- l 2 . 2 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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