147 7. 3 rat ionale Funkt ionen 7. 3 rationale Funktionen Untersuchen rationaler Funktionen Definition Eine rationale Funktion ist eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x) = u(x) _ v(x) , wobei u(x) und v(x) Polynome sind und v(x) ≠ 0 für alle x * A ist. Zur Untersuchung von rationalen Funktionen verwenden wir die gleichen Sätze wie für die Untersuchung von Polynomfunktionen. Man kann nämlich zeigen, dass diese Sätze für alle in diesem Kapitel behandelten Funktionen gelten (siehe dazu Seite 162 und 163). 7. 41 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2+ 1 _ x 2– 4 . Zeichne den Graphen von f mit Technologieeinsatz und beantworte dann durch Rechnung: 1) Ist die Funktion f auf ganz ℝ definiert? Gib den größtmöglichen Definitionsbereich D fan! 2) Besitzt die Funktion f Nullstellen? 3) In welche Monotoniebereiche zerfällt D f? Gib jeweils die Art der Monotonie an! Besitzt die Funktion f lokale Extremstellen? 4) Weist der Graph von f eine Symmetrie auf? lösung: 1) Die Funktion f ist an jeder Stelle x * ℝ definiert, ausgenommen an jenen Stellen, an denen der Nenner null ist. Somit gilt: D f= ℝ\{– 2, 2} 2) f(x) = x 2+ 1 _ x 2– 4 = 0 É x 2+ 1 = 0 Diese Gleichung hat keine reelle Lösung. Daher besitzt f keine Nullstelle. 3) Nullstellen von f’: f’(x) = 2x · (x 2– 4) – (x 2+ 1) · 2x ____ ( x 2– 4) 2 = –10x __ ( x 2– 4) 2 = 0 É x = 0 Durch die Nullstellen des Nenners von f und die Nullstelle von f’ wird der Definitionsbereich D fin die folgenden Intervalle zerlegt: (– •; – 2), (– 2; 0], [0; 2), (2; •) Im Inneren dieser Intervalle gibt es keine Nullstellen von f’. Somit ist f in diesen Intervallen streng monoton. Um die Art der Monotonie festzustellen, berechnen wir jeweils die erste Ableitung an einer inneren Stelle, zum Beispiel: f’(– 3) = 6 _ 5 > 0, f ’(–1) = 10 _ 9 > 0, f ’(1) = – 10 _ 9 < 0, f ’(3) = – 6 _ 5< 0 Somit gilt: f ist in (– •; – 2) streng monoton steigend. f ist in (– 2; 0] streng monoton steigend. f ist in [0; 2) streng monoton fallend. f ist in (2; •) streng monoton fallend. Demnach ist die Stelle 0 eine lokale Maximumstelle von f. 4) Wegen f(– x) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich von f ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der 2. Achse. L 4 6 8 x f(x) f 2 4 6 –8 –6 –4 –2 –4 –6 –2 2 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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