158 8 EXAKTIFIZIeRUNG DeR DIFFeReNTIALReChNUNG lerNz iele 8 .1 grenzwertregeln kennen. 8 . 2 Den Begriff der stetigkeit und Formen von Unstetigkeitsstellen kennen. 8 . 3 Den Begriff der Differenzierbarkeit kennen. 8 . 4 sätze über stetige und differenzierbare Funktionen kennen. 8 . 5 Eine exaktere Definition des grenzwerts für Funktionen kennen. 8 . 6 historisches zur Differentialrechnung kennen. Kompetenzcheck 8 .1 grenzWertregeln Präzisierung intuitiver grenzwertberechnungen Einen Grenzwert wie beispielsweise lim x ¥ 2 (x2 + 3x) haben wir bisher im Prinzip so berechnet: lim x ¥ 2 (x2 + 3x) = lim x ¥ 2 (x · x) + lim x ¥ 2 (3 · x) = lim x ¥ 2 x · lim x ¥ 2 x + lim x ¥ 2 3 · lim x ¥ 2 x = 2 · 2 + 3 · 2 = 10 Dabei haben wir intuitiv die folgenden Regeln angewendet: satz (grenzwertregeln) Es seien f: A ¥ ℝ und g: A ¥ ℝ reelle Funktionen. Falls die Grenzwerte existieren, gilt: (1) lim x ¥ p [f(x) + g(x)] = lim x ¥ p f(x) + lim x ¥ p g(x) (2) lim x ¥ p [f(x) – g(x)] = lim x ¥ p f(x) – lim x ¥ p g(x) (3) lim x ¥ p [f(x) · g(x)] = lim x ¥ p f(x) · lim x ¥ p g(x) (4) lim x ¥ p f(x) _ g(x) = lim x ¥ p f(x) _ _ lim x ¥ p g(x) (sofern g(x) ≠ 0 in einer Umgebung von p und lim x ¥ p g(x) ≠ 0) Beweise dieser Regeln führen wir nicht durch. Als Spezialfall der Regel (3) ergibt sich: satz (grenzwertregel für einen konstanten Faktor c) lim x ¥ p [c · f(x)] = c · lim x ¥ p f(x) BeWeis : Nach der Grenzwertregel (3) gilt: lim x ¥ p [c · f(x)] = lim x ¥ p c · lim x ¥ p f(x) = c · lim x ¥ p f(x) Die Grenzwertregeln (1) und (3) lassen sich auf mehr als zwei Funktionen verallgemeinern: (1’) lim x ¥ p [f1 (x) + f2 (x) + … + fn (x)] = lim x ¥ p f1 (x) + lim x ¥ p f2 (x) + … + lim x ¥ p fn (x) (3’) lim x ¥ p [f1 (x) · f2 (x) ·…· fn (x)] = lim x ¥ p f1 (x) · lim x ¥ p f2 (x) ·…· lim x ¥ p fn (x) Beispiel : lim x ¥ 0 [3(x + ex)] = 3 · lim x ¥ 0 (x + ex) = 3 · 2 lim x ¥ 0 x + lim x ¥ 0 ex 3 = 3 · (0 + 1) = 3 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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