161 8 . 3 Di fferenz ierbarkei t 8 . 3 Differenzierbarkeit existenz der ableitung Nebenstehend ist die Funktion f mit f(x) = †x† dargestellt. Die Funktion f ist an der Stelle 0 stetig, denn wenn man sich (von links oder rechts) der Stelle 0 unbegrenzt nähert, dann nähert sich f(x) unbegrenzt der Zahl 0; also ist lim x ¥ p f(x) = 0 = f(0). Wir werden aber im Abschnitt 8.4 zeigen, dass die Ableitung von f an der Stelle 0 nicht existiert (und der Graph im Nullpunkt O daher keine Tangente besitzt). Funktionen, deren Ableitungen existieren, erhalten einen eigenen Namen: Definition (Differenzierbarkeit) Eine reelle Funktion f: a ¥ ℝ heißt (1) an der stelle p * a differenzierbar, wenn f ’(p) = lim x ¥ p f(x) – f(p) __ x – p existiert. (2) differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Dass eine Funktion f an einer Stelle p nicht differenzierbar ist, merkt man im Allgemeinen daran, dass der Graph von f an der Stelle p einen Knick hat. Der Graph besitzt an einer solchen Stelle keine Tangente. Aus den Herleitungen der entsprechenden Ableitungsregeln folgt: satz (Differenzierbarkeit elementarer Funktionen) Die folgenden Funktionen sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich differenzierbar: Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Polynomfunktionen Logarithmusfunktionen rationale Funktionen Winkelfunktionen zusammenhang von Differenzierbarkeit und stetigkeit satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. BeWeis : Sei f an der Stelle p * A differenzierbar. Es gilt für alle x * A, wie man durch Kürzen leicht sieht: f(x) = f(p) + f(x) – f(p) __ x – p · (x – p) Daraus folgt nach den Grenzwertregeln: lim x ¥ p f(x) = lim x ¥ p f(p) + lim x ¥ p f(x) – f(p) __ x – p · lim x ¥ p (x – p) = f(p) + f’(p) · 0 = f(p) Somit ist f an der Stelle p stetig. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Aus der Stetigkeit folgt nicht unbedingt die Differenzierbarkeit. Zum Beispiel ist die Funktion f mit f(x) = †x† an der Stelle 0 stetig, aber an dieser Stelle nicht differenzierbar. Merke Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. R 0 1 x –1 1 f f(x) L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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