165 8 . 5 eXakt i f i z ierUng des grenzWertbegri ffs Im Symbol lim x ¥ p f(x) muss vorausgesetzt werden, dass p eine Häufungsstelle der Definitionsmenge A der Funktion f ist. Da eine Häufungsstelle nicht unbedingt zu A gehören muss, braucht f an der Stelle p nicht unbedingt definiert zu sein. Beispiel : Ist f differenzierbar, dann ist die Differenzenquotientenfunktion d mit d(x) = f(x) – f(p) __ x – p an der Stelle p nicht definiert, trotzdem kann man vom Grenzwert lim x ¥ p d(x) = f’(p) sprechen. aUfgaben 8 . 05 Ist p eine Häufungsstelle von A? Wenn nicht, begründe warum! a) c) e) b) d) f) exaktere Definition des grenzwerts Gegeben sind eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ und eine Häufungstelle p von A. Die Aussage lim x ¥ p f(x) = q haben wir bisher so gedeutet: f(x) nähert sich unbegrenzt der Zahl q, wenn sich x unbegrenzt der Zahl p nähert. Dies kann man auch so formulieren: Wie klein man auch eine Umgebung U(q) von q wählt, stets lässt sich eine Umgebung U(p) von p finden, sodass gilt: x * U(p) w f(x) * U(q). Dies ist in den folgenden Abbildungen veranschaulicht: Dabei ist zweierlei zu beachten: Die Funktion f muss an der Stelle p nicht unbedingt definiert sein. Man kann sich offensichtlich auf Umgebungen beschränken, die symmetrisch um q bzw. p liegen. Dazu führen wir folgende Begriffe ein: Definition epsilon-Umgebung von q: U ε (q) = {y * ℝ ‡ q – ε < y < q + ε} mit ε > 0 Delta-Umgebung von p: U δ (p) = {x * ℝ ‡ p – δ < x < p + δ} mit δ > 0 Punktierte Delta-Umgebung von p: ˙ U δ (p) = U δ (p) \ {p} L a p a p a p a a p a p a a p L 2. A. q 1. A. f p x 0 f (x) U (p) U (q) 2. A. q 1. A. f p x f (x) U (p) U (q) 0 2. A. q 1. A. f p x f (x) U (p) U (q) 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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