17 2 .1 Di FFerenzenQuot ient und Di FFerent ialQuot ient 2) _ v(t; z) = s(z) – s(t) __ z – t = 5 · z2 – 5 · t2 __ z – t = 5 · (z2 – t2) __ z – t = 5 · (z – t)(z + t) ___ z – t = 5 · (z + t) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 3) Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3 mit v(3). Was soll man darunter überhaupt verstehen? Es liegt nahe, die mittleren Geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [3; z] zu ermitteln, dh. z immer näher bei 3 zu wählen, wodurch man eine immer bessere Näherung für die gesuchte Geschwindigkeit v(3) erhält. Nach 2) gilt für t = 3: _ v(3; z) = 5 · (z + 3) für z ≠ 3 In der nebenstehenden Tabelle wurde _ v(3; z) für verschiedene, immer näher bei 3 liegende Werte von z berechnet. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 kann man als „grenzwert“ [lat.: Limes] dieser mittleren Geschwindigkeiten auffassen, wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert (dh. in beliebige Nähe von 3 kommt). Dies schreibt man kurz so an: v(3) = lim z ¥ 3 _ v(3; z) [ Lies: v(3) ist der Limes von _ v(3; z) für z gegen 3.] Aufgrund der Tabelle vermuten wir: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 3, dann nähert sich _ v(3; z) unbegrenzt der Zahl 30. Also: v(3) = lim z ¥ 3 _ v(3; z) = 30m/s Hätten wir in der letzten Aufgabe die Geschwindigkeit v(3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel _ v(3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v(3) = _ v(3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30 erhalten. Dieses vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel _ v(3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3 gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3 unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6 und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), dann setzt man: Mittlere geschwindigkeit im zeitintervall [t 1 ; t 2] = _ v(t 1; t2) = s(t 2) – s(t 1) __ t 2– t 1 geschwindigkeit zum zeitpunkt t = v(t) = lim z ¥ t _ v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t Bemerkung: v(t) wird auch als Momentangeschwindigkeit zum zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise gibt ein Tachometer im Auto zu jedem Zeitpunkt die jeweilige Momentangeschwindigkeit an. Zeitintervall [3; z] mittlere Geschwindigkeit _ v(3; z) [3; 4] 35 [3; 3,5] 32,5 [3; 3,1] 30,5 [3; 3,01] 30,05 [3; 3,001] 30,005 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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