177 9 .1 anwendungen in der WirtschaFtsmathemat ik Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum 9 . 05 In einem Betrieb wurden die Kosten K(x) für die Produktion von x Stück einer Ware näherungsweise mit K(x) = x 3– 12x 2+ 60x + 100 ermittelt. Aus Kapazitätsgründen muss die tägliche Produktion x im Bereich von 0 bis 10ME liegen. 1) Stelle die Graphen der Kostenfunktion K und der Grenzkostenfunktion K’ in demselben Koordinatensystem dar! 2) Bei welcher täglichen Produktionsmenge sind die Stückkosten, dh. die Kosten für die Produktion einer Mengeneinheit, am niedrigsten? lösung: 1) Graphen von K und K’: K(x) = x 3– 12x 2+ 60x + 100 K’(x) = 3x 2– 24x + 60 Die Graphen von K und K’ sind nebenstehend dargestellt. 2) Ermittlung der Produktionsmenge mit geringsten Stückkosten: Bei der täglichen Produktion von xME erhält man die Stückkosten _ K(x), indem man die Produktionskosten K(x) durch x dividiert. Es gilt also: _ K(x) = K(x) _ x = x 2 – 12x + 60 + 100 _ x für x * (0; 10] Der Graph von _ Kist ebenfalls in der Abbildung dargestellt. Wir suchen jetzt das Minimum der Stückkostenfunktion _ Kim Intervall (0; 10]. Mögliche Minimumstellen sind die Stellen mit _ K’(x) = 0 und die Randstelle x = 10. _ K’(x) = 0 É 2x – 12 – 100 _ x 2 = 0 É x 3– 6x 2– 50 = 0 É x ≈ 7 _ K(7) ≈ 39,29 < _ K(10) = 50 Daraus ergibt sich: Mit den geringsten Stückkosten von ungefähr 39,29GE/ME arbeitet der Betrieb dann, wenn er täglich ca. 7ME produziert. Definition Sei K: x ¦ K(x) mit x * A eine Kostenfunktion, wobei A a ℝ 0 +ein Intervall ist. Die Funktion _ Kmit _ K(x) = K(x) _ x (x ≠ 0) heißt Stückkostenfunktion zur Kostenfunktion K. Die Produktionsmenge x opt * a , für die die Stückkostenfunktion _ K minimal ist, heißt Betriebsoptimum zur Kostenfunktion K. Die Abbildung in Aufgabe 9.05 lässt vermuten, dass sich die Graphen von _ Kund K’ bei x opt schneiden. Dies wird im folgenden Satz bewiesen. R Ó applet mx89ms 100 200 300 400 500 2 4 6 8 10 12 14 600 700 0 x xopt K(x) K’(x) K(x) K’ K K _ Ó lernapplet 2jx3qt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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