186 9 anwendungen der Di FFerent ialrechnung 9 . 2 anwendungen in den NaturwissenschaFten Brechung und Spiegelung Brechung des lichts: Wenn ein Lichtstrahl von einem Medium in ein anderes (zB. von Luft in Wasser) tritt, wird er „gebrochen“, dh. er ändert seine Richtung. Die Richtungsänderung hängt von den Lichtgeschwindigkeiten v 1und v 2in den beiden Medien ab. A, P, B und das Lot durch P liegen in einer Ebene. Man bezeichnet α als Einfallswinkel und β als Brechungswinkel. Es gilt folgendes Gesetz: Brechungsgesetz von Snellius: sin(α) _ sin( β) = v 1 _ v 2 reflexion des lichts: Wird ein Lichtstrahl an einem ebenen Spiegel reflektiert, ändert er ebenfalls seine Richtung. A, P, B und das Lot durch P liegen in einer Ebene. Man bezeichnet α als Einfallswinkel und β als Reflexionswinkel. Es gilt folgendes Gesetz: reflexionsgesetz: α = β Sowohl das Brechungsgesetz als auch das Reflexionsgesetz lassen sich aus einem grundlegenden Prinzip herleiten: Fermatsches Prinzip: Um von einem Punkt A zu einem Punkt B zu gelangen, nimmt ein Lichtstrahl unter allen Wegen immer jenen mit der kürzesten Laufzeit. 9 . 25 Leite das Brechungsgesetz von Snellius aus dem Fermatschen Prinzip her! lösung: Wir verwenden die Bezeichnungen aus der obigen Abbildung. Der Lichtstrahl verläuft von A über P nach B. Die für diesen Weg benötigte Zeit hängt vom Abstand x ab. Anhand der Abbildung erkennt man, dass für diese Zeit t(x) gilt: t(x) = Weglänge von A nach P ____ Geschwindigkeit v 1 + Weglänge von P nach B ____ Geschwindigkeit v 2 = 9 ____ x 2+ h 1 2 __ v 1 + 9 ______ (a – x) 2+ h 2 2 __ v 2 Nach dem Fermatschen Prinzip wählt der Lichtstrahl den Abstand x so, dass t(x) minimal wird. t ’ (x) = 1 _ v 1 · 2x __ 2 · 9 ____ x 2+ h 1 2 + 1 _ v 2 · 2(a – x) · (–1) ___ 2 · 9 _ _ __ (a – x) 2+ h 2 2 = 1 _ v 1 · x __ 9 __ _ x 2+ h 1 2 – 1 _ v 2 · a – x __ 9 ___ __ (a – x) 2+ h 2 2 t ’ (x) = 0 É 1 _ v 1 · x __ 9 ____ x 2+ h 1 2 = 1 _ v 2 · a – x __ 9 ___ __ (a – x) 2+ h 2 2 É 1 _ v 1 · sin(α) = 1 _ v 2 · sin(β) É v 1 _ v 2 = sin(α) _ sin(β) aUFgaBeN 9 . 26 Leite das Reflexionsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip her! Gehe dazu in folgenden Schritten vor: – Bezeichne die Lichtgeschwindigkeit mit v! – Stelle die Zeit t(x), die der Lichtstrahl von A über P nach B braucht, durch einen Term in x dar! – Zeige mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass sin(α) = sin(β) ist! – Begründe, dass daraus α = β folgt! L P A α β β α B h2 h1 a x a – x P A B α α β β h1 h 2 a x a – x L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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