19 2 .1 Di FFerenzenQuot ient und Di FFerent ialQuot ient Bemerkung: Der Begriff der Änderungsgeschwindigkeit ist eine verallgemeinerung des gewöhnlichen Geschwindigkeitsbegriffs. Man kann ihn nicht nur auf den Ort s(t), sondern auf beliebige zeitabhängige Größen anwenden (zB. volumen v(t), Masse m(t), Temperatur T(t)). Eine positive (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit bezeichnet man auch als (mittlere) zunahmegeschwindigkeit. Eine negative (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit bezeichnet man auch als (mittlere) abnahmegeschwindigkeit. auFgaben 2 . 05 Die Tabelle gibt für einen bestimmten Ort die Lufttemperatur zu drei verschiedenen Uhrzeiten eines Tages an. 1) Die Temperatur hat in den Zeitintervallen [8; 12] und [12; 14] jeweils um 4° C zugenommen. Kann man deshalb sagen, dass die Temperatur in beiden Zeitintervallen gleich schnell zugenommen hat? Begründe die Antwort! 2) In welchem dieser Zeitintervalle hat die Temperatur im Mittel schneller zugenommen? 2 . 06 Die Funktion T: [0; 24] ¥ ℝ ‡ t ¦ T(t) gibt den Temperaturverlauf während eines Tages an (t in Stunden, T(t) in °C). Schreibe an, wie die mittlere Temperaturänderung an diesem Tag und die momentane Temperaturänderung um 11 Uhr definiert sind! Änderungsrate 2 . 07 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat das volumen v(r) = 4 π _ 3 r 3 (r in Dezimeter, v in Kubikdezimeter). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Berechne die Änderung des volumens in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 2) Berechne die mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [1; 3]! 3) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [r; z] an! 4) Gib eine Formel für die Änderungsrate v’(r) des volumens beim Radius r an! 5) Berechne die Änderungsrate des volumens beim Radius 1 bzw. beim Radius 3! lösung: 1) volumsänderung im Radiusintervall [1; 2] = v(2) – v(1) = 4 π _ 3 · 2 3 – 4 π _ 3 · 1 3 = 28 π _ 3 ≈ 29,32 (dm 3) volumsänderung im Radiusintervall [2; 3] = v(3) – v(2) = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 2 3 = 76 π _ 3 ≈ 79,59 (dm 3) 2) Mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [1; 3] = volumsänderung ___ Radiusänderung= = v(3) – v(1) __ 3 – 1 = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 1 3 ___ 2 = 4 π _ 3 · 3 3– 1 3 _ 2 = 52 π _ 3 ≈ 54,45 (dm 3/ dm) Das volumen nimmt im Radiusintervall [1; 3] im Mittel (!) für jeden zusätzlichen Dezimeter des Radius um ca. 54,45dm 3zu (am Anfang weniger, gegen Ende mehr). 3) Mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [r; z] = v(z) – v(r) __ z – r = 4 π _ 3 · z 3 – 4 π _ 3 · r 3 __ z – r = = 4 π _ 3 · z 3– r 3 _ z – r = 4 π _ 3 · (z – r) · (z 2 + z · r + r 2) ___ z – r = 4 π _ 3 · (z 2 + z · r + r 2) für z ≠ r 4) Unter der Änderungsrate v’(r) versteht man naheliegenderweise den Grenzwert der mittleren Änderungsrate des volumens für immer kleiner werdende Radiusintervalle [r; z]: v’(r) = lim z ¥ r v(z) – v(r) __ z – r = lim z ¥ r 4 π _ 3 (z 2 + z · r + r 2) R Uhrzeit t Temperatur T(t) in °C 8 9 12 13 14 17 R r z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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