24 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung Differentialquotient als tangentensteigung Was ist eine tangente an einen Funktionsgraphen? Wir kennen bisher nur den Begriff der Tangente an einen Kreis. Eine Tangente an einen Kreis in einem Punkt des Kreises ist eine Gerade, die durch den betrachteten Punkt geht und normal auf den zugehörigen Radius steht (siehe Abb. 2.1). Diese Definition können wir nicht auf Funktionsgraphen übertragen, da wir dort nicht immer von einem Radius sprechen können. Eine Tangente an einen Kreis kann man auch als eine Gerade auffassen, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat. Auch diese Definition ist nicht auf Funktionsgraphen übertragbar. Die Gerade g in Abb. 2.2 entspricht nicht unserer vorstellung von einer Tangente, obwohl sie mit dem Graphen genau einen Punkt gemeinsam hat. Die Gerade h in Abb. 2.3 hingegen wird man als Tangente akzeptieren, obwohl sie mit dem Graphen mehr als einen Punkt gemeinsam hat. Im Folgenden erarbeiten wir einen Tangentenbegriff, der auf gottfried Wilhelm leibniz (1646 –1716) zurückgeht und auch auf Funktionsgraphen anwendbar ist. Wir betrachten eine Funktion f, die nicht unbedingt linear sein muss (siehe nebenstehende Abbildung). Im Intervall [x; z] gilt: Steigung der Sekante = f(z) – f(x) __ z – x Wir lassen z gegen x streben. Nähert sich z unbegrenzt der Stelle x, so nähert sich der Punkt Z unbegrenzt dem Punkt X und die Sekante nähert sich unbegrenzt einer „Grenzgeraden“ t. Die Steigung dieser „Grenzgeraden“ ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. Es gilt also: Steigung der „Grenzgeraden“ = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = f’(x) Diese „Grenzgerade“ bezeichnet man als tangente an den Graphen von f im Punkt X. Definition Es sei f eine reelle Funktion und f’(x) ihr Differentialquotient an der Stelle x. Die Gerade durch den Punkt X = (x 1 f(x)) mit der Steigung f’(x) bezeichnet man als tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’(x) dieser Tangente heißt auch steigung der Funktion f an der Stelle x. Ist f’(x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’(x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’(x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) gleich 0 und die Tangente somit parallel zur ersten Achse. f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 R t M f g f h Abb. 2.1 Abb. 2.2 Abb. 2.3 Ó applet 9vf5kh f t Z X z x f (x) kompakt seite 39 Ó applet 5gn776 x f f (x) x f (x) f x f (x) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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