26 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung Neigungswinkel einer tangente Unter dem Neigungswinkel (steigungswinkel) einer geraden g versteht man den Winkel, den die Gerade g mit der positiven 1. Achse (x-Achse) einschließt (siehe Abb. 2.4 a, b). Für das Maß α des Neigungswinkels gilt stets 0° ª α < 180°. Abb. 2.4a Abb. 2.4b In Abb. 2.4a gilt: k = b _ a= tan α In Abb. 2.4b gilt: k = – b _ a= – tan(180° – α) = tan α In beiden Fällen gilt also: k = tan α. Insbesondere gilt für eine Tangente: f’(x) = k = tan α. Wir halten fest: satz Ist k die Steigung und α das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt: f’(x) = k = tan α 2 . 20 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2. 1) Berechne die Steigungen von f an den Stellen –2 und 1! 2) Zeichne den Graphen von f und zeichne die Tangenten in den Punkten P = (– 2 1 f(– 2)) und Q = (1 1 f(1)) ein! 3) Berechne die Neigungswinkel der Tangenten in diesen Punkten! 4) Gib Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den Punkten P und Q an! lösung: 1) f’(x) = lim z ¥ x z 2 – x2 _ z – x = lim z ¥ x (z + x)(z – x) __ z – x = lim z ¥ x (z + x) = 2x f’(– 2) = 2 · (– 2) = – 4 f’(1) = 2 · 1 = 2 2) Siehe nebenstehende Abbildung! 3) Tangente in P = (–2 1 f(– 2)): tan α1 = – 4 w α1 ≈ 104,0° Tangente in Q = (1 1 f(1)): tan α2 = 2 w α2 ≈ 63,4° 4) Tangente in P: y = – 4x – 4 (Rechne nach! Beachte k = f’(– 2)!) Tangente in Q: y = 2x – 1 (Rechne nach! Beachte k = f’(1)!) auFgaben 2 . 21 (Fortsetzung von 2.20) 1) Berechne die Neigungswinkel der Tangenten in den Punkten P = (–1 1 f(–1)) und Q = (2,5 1 f(2,5))! 2) In welchen Punkten ist der Neigungswinkel der Tangente gleich 45° bzw. 135°? 3) In welchen Punkten gilt für den Neigungswinkel α der Tangente: 0° ª α < 90°? 4) In welchen Punkten gilt für den Neigungswinkel α der Tangente: 90° < α < 180°? R 1. A. 2. A. α g b a 1. A. 2. A. α g b a α2 0 1 –3 –2 –1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 α1 4 5 6 7 –1 –2 P Q f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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