33 2 . 4 ablei tungen satz (regel vom konstanten Faktor) f(x) = c · g(x) w f’(x) = c · g’(x) (c * R) BeWeis : Sei f(x) = c · g(x). Dann gilt: f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x c · g(z) – c · g(x) ___ z – x = lim z ¥ x c · g(z) – g(x) __ z – x = c · g’(x) Man sagt auch: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. satz (summenregel) f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x) BeWeis : Sei f(x) = g(x) + h(x). Dann gilt: f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x g(z) + h(z) – [g(x) + h(x)] ____ z – x = lim z ¥ x 2 g(z) – g(x) __ z – x + h(z) – h(x) __ z – x 3= g’(x) + h’(x) Man sagt auch: Eine Summe darf gliedweise differenziert werden. Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden: satz (allgemeine summenregel) f(x) = f 1(x) + f 2(x) + … + f n(x) w f’(x) = f 1’(x) + f 2’(x) + … + f n’(x) BeWeis : Wir überlegen uns den Beweis zunächst für eine Funktion der Form: f(x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) Setzen wir zur Abkürzung g(x) = f2 (x) + f3 (x), dann gilt f(x) = f1 (x) + g(x). Daraus folgt: f’(x) = f1’(x) + g’(x) = f1’(x) + f2’(x) + f3’(x) Auf analoge Weise kann man die Regel für vier, fünf, sechs, … Summanden beweisen. Mit Hilfe der bisher bewiesenen Regeln können wir jede Polynomfunktion differenzieren: satz (ableitung einer Polynomfunktion) f(x) = a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 w f’(x) = a n · n · x n – 1+ a n – 1 · (n – 1) · x n – 2 + … + a 1 auFgaben 2 . 38 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 1 c) f(x) = x e) f(x) = x + 1 g) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = 15 d) f(x) = 2x f) f(x) = x – 1 h) f(x) = – 2x + 1 2 . 39 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x2 c) f(x) = x12 e) f(x) = 3x2 g) f(x) = 4x5 + 3 b) f(x) = x5 d) f(x) = x150 f) f(x) = 2x8 h) f(x) = – x7 – 5 2 . 40 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x6 + x3 d) f(x) = – 6x4 – 2x3 + 12 g) f(x) = 7x7 + 3x3 – x b) f(x) = x6 + x3 – x + 8 e) f(x) = x5 – 18x2 + 6x h) f(x) = 2x11 – 13x10 – 10 c) f(x) = 4x3 – 7x2 + 3x – 5 f) f(x) = x5 + x4 – 2x + 1 i) f(x) = 7,5x25 – 3,5x15 2 . 41 Ermittle f’(3)! a) f(x) = x7 – x2 – x c) f(x) = x(x3 – x) e) f(x) = 5 – x b) f(x) = x4 – x5 – 3 d) f(x) = 2 – x6 f) f(x) = (x – 3)(x + 2) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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