35 2 . 4 ablei tungen 2 . 53 Eine Kugel wird von der Dachkante eines 140m hohen Gebäudes mit der Abschussgeschwindigkeit 60m/s lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe s(t) = 140 + 60t – 5t2 erreicht (s in Meter, t in Sekunden). 1) Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe? 2) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s? 3) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel nach 5 s? 4) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf? 2 . 54 Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 0,5 · t2 + 1. 1) Wie groß ist die Geschwindigkeit v(t) des Körpers zum Zeitpunkt t = 3? 2) Zu welchem Zeitpunkt t hat der Körper die Geschwindigkeit v(t) = 4? 3) Nimmt die Geschwindigkeit des Körpers mit der Zeit zu? 4) von welchem Typ ist die Funktion v: t ¦ v(t)? 2 . 55 Die Höhe eines lotrecht nach oben geworfenen Steins zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h(t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h(t) in Meter, v0 in m/s). Berechne für v0 = 34m/s 1) die mittlere Geschwindigkeit des Steins während der ersten zwei Sekunden, 2) die Geschwindigkeit des Steins zu den Zeitpunkten 0, 1, 2, 3, 4, 5 (s)! Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit? 2 . 56 Für den Strömungswiderstand F(v) eines mit der Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeugs gilt ungefähr: F(v) = 2,3 · v2 (F(v) in Newton, v in km/h). Berechne die Änderungsrate des Strömungswiderstands bezüglich der Geschwindigkeit bei der Geschwindigkeit 200, 400, 600, 800km/h! Nimmt diese Änderungsrate mit steigender Geschwindigkeit zu oder ab? 2 . 57 Wird ein Körper mit der Abschussgeschwindigkeit v0 (in m/s) vom Boden lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe (in Meter) nach t Sekunden ungefähr gegeben durch: s(t) = v0 · t – 5 · t 2. Es sei v 0 = 65 (m/s). 1) Nach welcher Zeit schlägt der Körper wieder auf dem Boden auf? 2) Wie schnell ist der Körper in 25m Höhe beim Aufsteigen bzw. Absteigen? 3) Nach welcher Zeit erreicht der Körper seine größte Höhe? Wie groß ist diese Höhe? 2 . 58 Wenn ein Auto gegen eine Mauer fährt, hängt die Wucht des Aufpralls von der kinetischen Energie des Autos ab. Beschleunigt das Auto gleichmäßig, so wächst seine kinetische Energie mit dem Quadrat der Zeit. Für die kinetische Energie eines Autos zum Zeitpunkt t gelte: E(t) = 5000 · t2 (t in Sekunden, E(t) in Joule). 1) Berechne die Zunahme der kinetischen Energie in den Zeitintervallen [0; 5] und [5; 10]! In welchen dieser beiden Zeitintervalle ist die Zunahme größer? 2) Berechne die mittlere Zunahme der kinetischen Energie in den unter 1) angegebenen Zeitintervallen! In welchem der beiden Zeitintervalle nimmt die Energie im Mittel stärker zu? 3) Gib eine Formel für die Zunahmegeschwindigkeit E’(t) der kinetischen Energie zum Zeitpunkt t an! Zu welchem Zeitpunkt t * [0; 10] nimmt E(t) am schnellsten zu? 4) Wie groß ist die Zunahmegeschwindigkeit der kinetischen Energie zu Beginn, nach 5 s bzw. nach 10 s? 2 . 59 Das durchhängende Seil einer Materialseilbahn sei ungefähr durch die Funktion f mit f(x) = 1 _ 50(x – 10) 2 + 100 (mit 0 ª x ª 50) beschrieben. Ist das Seil an der Stelle 20 oder an der Stelle 30 steiler? Überprüfe das Rechenergebnis anhand einer Skizze! Nur zu Prüfzwecken – E g ntum des Verlags öbv
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