38 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung 2 . 5 höhere ableitungen Fortlaufendes Differenzieren Wir betrachten eine Polynomfunktion f, zum Beispiel: f(x) = x5 + 2x3 – 5x + 7 Wir bilden die Ableitung: f’(x) = 5x4 + 6x2 – 5 Die Funktion f’ können wir abermals differenzieren: (f’)’(x) = 20x3 + 12x Statt (f’)’ schreibt man kürzer f’’ [lies: f zwei Strich]: f’’(x) = 20x3 + 12x Die Funktion f’’ können wir wiederum differenzieren: (f’’)’(x) = 60x2 + 12 Statt (f’’)’ schreibt man kürzer f’’’ [lies: f drei Strich]: f’’’(x) = 60x2 + 12 Auf diese Weise könnte man beliebig weit fortfahren. Definition Es sei f eine reelle Funktion. Man bezeichnet die Funktion f’ als erste ableitung von f, die Funktion f’’ = (f’)’ als zweite ableitung von f, die Funktion f’’’ = (f’’)’ als dritte ableitung von f. Beispiel : Es sei s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion. geschwindigkeit zum zeitpunkt t: v(t) = s’(t) Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich der Ort zum Zeitpunkt t ändert. Beschleunigung zum zeitpunkt t: a(t) = v’(t) = s’’(t) Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bzw. die Änderungsrate der Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ändert. auFgaben 2 . 79 Berechne f’(x) und f’’(x)! a) f(x) = x + 3 c) f(x) = x5 – x4 + 3x3 + 2 e) f(x) = x(x – 1)(x + 1) b) f(x) = 1 _ 2x 2 + x3 d) f(x) = x7 – x2 + 3x f) f(x) = (x – 1)(x2 + 2) 2 . 80 Berechne f’(x) und f’’(x)! a) f(x) = ax + b b) f(x) = ax3 + bx2 + cx + d c) f(x) = a nx n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0 2 . 81 Berechne f’(x), f’’(x) und f’’’(x)! a) f(x) = 5x3 – 7x2 + x – 8 b) f(x) = ax5 – bx3 + c c) f(x) = ax6 – bx5 + cx2 2 . 82 Berechne f’(0), f’’(2) und f’’’(– 6) für f(x)! a) f(x) = x4 – x3 + 5 b) f(x) = x2 (x3 + 2) c) f(x) = x(x – 1) 2 . 83 Berechne die Geschwindigkeit v(10) und die Beschleunigung a(10) für die Zeit-Ort-Funktion s! a) s(t) = 2 · t2 b) s(t) = 3 · t3 – 1 c) s(t) = 4t3 + t – 1 d) s(t) = 2t4 – t2 + 5 2 . 84 Für den zurückgelegten Weg beim freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands): s(t) = g _ 2· t 2 (t in Sekunden, s(t) in Meter) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t sowie eine Formel für die Beschleunigung a(t) zum Zeitpunkt t auf! Erkläre, warum für die Konstante g die Bezeichnung „Erdbeschleunigung“ üblich ist! R kompakt seite 39 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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