62 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen 3 . 6 aufsuchen von Polynomfunktionen ermitteln einer termdarstellung aufgrund von Bedingungen 3 . 48 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat T = (3 1 1) als Tiefpunkt und die Steigung der Tangente im Punkt P = (0 1 1) beträgt 3. Ermittle eine Termdarstellung dieser Funktion! lösung: Die gesuchte Termdarstellung hat die Form: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Die Ableitung lautet: f’(x) = 3ax2 + 2bx + c Zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, c, d entnehmen wir dem Text vier Bedingungen: 1. Bedingung: Der Graph geht durch T = (3 1 1), dh. f(3) = 1. w 27a + 9b + 3c + d = 1 2. Bedingung: Der Graph geht durch P = (0 1 1), dh. f(0) = 1. w d = 1 3. Bedingung: 3 ist lokale Minimumstelle von f und somit f’(3) = 0. w 27a + 6b + c = 0 4. Bedingung: Die Steigung von f an der Stelle 0 ist 3, dh. f’(0) = 3. w c = 3 Insgesamt erhalten wir somit folgendes Gleichungssystem: { 27a + 9b + 3c + d = 1 d = 1 27a + 6b + c = 0 c = 3 Löse dieses Gleichungssystem selbst! Es ergibt sich: a = 1 _ 3, b = – 2, c = 3, d = 1 Folglich lautet die Termdarstellung von f: f(x) = 1 _ 3x 3 – 2x2 + 3x + 1 Führe die Probe selbst durch! Überprüfe dabei, ob alle Bedingungen des Textes erfüllt sind! aufgaben 3 . 49 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 besitzt den Tiefpunkt T = (2 1 – 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 0 beträgt –3. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3 . 50 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 besitzt den Hochpunkt H = (1 1 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 4 beträgt –6. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3 . 51 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt P = (0 1 1) und hat den Tiefpunkt T = 2 1 _ 3 1 2 _ 3 3. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3 . 52 Die Gerade t: x + y + 4 = 0 ist Tangente an den Graphen von f: x ¦ ax2 + bx + 1 im Punkt P = (–1 1 –3). Ermittle a und b! 3 . 53 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H = (0 1 2) und den Tiefpunkt T = (4 1 – 30). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f sowie den Wendepunkt des Graphen von f! 3 . 54 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H = (0 1 3) und den Wendepunkt W = (1 1 1). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! Ermittle weiters den Tiefpunkt des Graphen von f! Zeichne den Graphen! R kompakt seite 78 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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