Mathematik verstehen 8, Schulbuch

26 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung LERNZ IELE 2 .1 Integrale als Flächeninhalte deuten und Flä- cheninhalte durch Integrale beschreiben können. 2 . 2 Integrale als Weglängen deuten und Weg längen durch Integrale beschreiben können. 2 . 3 Integrale als Volumina deuten und Volumina durch Integrale beschreiben können. 2 . 4 Integrale als Arbeit deuten und Arbeit durch ein Integral beschreiben können. 2 . 5 Integrale von Änderungsraten deuten und er- mitteln können.  Technologie kompakt  Kompetenzcheck GRUNDKOMPETENZEN Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können. Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für : k· f(x) dx und : f(k · x)dx, bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können. Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können. 2 .1 Flächeninhalte Flächeninhalte bei positiven Funktionswerten Ist die Funktion f stetig in [a; b] und f(x) º 0 für alle x * [a; b], dann gilt für den Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche: A(a, b) = : a b f(x) dx 2 . 01 Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f(x) = 3 – x 2 _ 2 im Intervall [– 2; 2] festgelegt wird! Lösung: A(– 2; 2) = : – 2 2 f(x) dx= : – 2 2 2 3 – x 2 _ 2 3 dx= 3x – 1 _ 6 x 3 1 – 2 2 = 28 _ 3 ≈ 9,33 Flächeninhalte bei negativen Funktionswerten Falls f(x) ª 0 für alle x * [a; b] ist, spiegeln wir den Graphen der Funktion f an der x-Achse. Die gespiegelte Funktion bezeichnen wir mit _ f. Es gilt _ f(x) = – f(x) für alle x * [a; b]. Der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche ist offensichtlich gleich dem Inhalt der von _ fin [a; b] festgelegten Fläche. Somit gilt: A f (a, b) = A _ f (a, b) = : a b _ f(x) dx= : a b (– f(x)) dx= – : a b f(x) dx AN-R 4 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 R x f(x) 2 – 2 1 0 f R 0 f (x), f¯ (x) a b f f¯ x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv