Mathematik verstehen 8, Schulbuch

68 4 Die Normalvertei lung Die σ -Regeln Satz ( σ -Regeln) Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: (1) P( μ – σ ª X ª μ + σ ) ≈ 0,683 = 68,3% (2) P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ ) ≈ 0,954 = 95,4% (3) P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ ) ≈ 0,997 = 99,7% Beweis : P( μ – 1 · σ ª X ª μ + 1 · σ) = 2 · Φ( 1) – 1 ≈ 2 · 0,8413 – 1 = 0,6826 ≈ 68,3% P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ) = 2 · Φ( 2) – 1 ≈ 2 · 0,9772 – 1 = 0,9544 ≈ 95,4% P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ) = 2 · Φ( 3) – 1 ≈ 2 · 0,9987 – 1 = 0,9974 ≈ 99,7%  Dies kann man so interpretieren: Bestimmt man durch einen Zufallsversuch sehr oft den Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen X, dann liegen von den erhaltenen Werten ca. 68,3% ca. 95,4% ca. 99,7% (also praktisch alle) im Intervall [ μ – σ ; μ + σ ] im Intervall [ μ – 2 σ ; μ + 2 σ ] im Intervall [ μ – 3 σ ; μ + 3 σ ] Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Standardnormalverteilung Satz: Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: (1) P(X ª x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 (2) P(X º x) = Φ 2 – x – μ _ σ 3 (3) P(x 1 ª X ª x 2 ) = Φ 2 x 2 – μ _ σ 3 – Φ 2 x 1 – μ _ σ 3 (4) P( μ – c ª X ª μ + c) = 2 · Φ 2 c _ σ 3 – 1 Beweis : (1) P(X ª x) = F(x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 (2) Das Ereignis X º x ist das Gegenereignis des Ereignisses X < x. Somit gilt: P(X º x) = 1 – P(X < x) = 1 – P(X ª x) = 1 – Φ 2 x – μ _ σ 3 = Φ 2 – x – μ _ σ 3 (3) P(x 1 ª X ª x 2 ) = P(X ª x 2 ) – P(X < x 1 ) = P(X ª x 2 ) – P(X ª x 1 ) = Φ 2 x 2 – μ _ σ 3 – Φ 2 x 1 – μ _ σ 3 (4) Die Formel P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ) = 2 · Φ( z) – 1 geht für z · σ = c über in: P( μ – c ª X ª μ + c) = 2 · Φ 2 c _ σ 3 – 1  R ca. 68,3 % x μ μ + σ μ – σ ca. 95,4 % x μ μ + 2 σ μ – 2 σ ca. 99,7 % x μ μ + 3 σ μ – 3 σ L x x x 2 x 1 μ – c μ + c μ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv