Mathematische Formelsammlung

11.9 Näherungsweises Berechnen von Funktionswerten Taylorpolynom: f(x) ≈ f(p) + ​  f’(p) _ 1! ​(x – p) + ​  f”(p) _ 2! ​(x – p) 2 + … + ​  f  (n) (p) _ n! ​(x – p) n 11.10 Näherungsweises Berechnen von Nullstellen der Funktion f x 0  , x 1  , x 2  , …, x n + 1 sind Näherungswerte. Newton’sches Verfahren: x n + 1 = x n – ​  f(x n ) _  f’(x n ) ​  f’(​x​ n ​) ≠ 0 Regula falsi: x n + 1 = x n – ​  x n – x n – 1 _  f(x n ) – f(x n – 1 ) ​· f(x n )  sgn f(​x​ n ​) ≠ sgn f(​x​ n – 1 ​) 11.11 Das Differential dy = f’(x 0 ) · dx = y’ · dx ≈ ∆ y = f(x 1 ) – f(x 0 ) 11.12 Differentialgleichungen a, c, k, G, φ , ω * R Wachstum Gleichung Lösung exponentiell y’(t) = k · y(t) y(t) = a · e kt hyperbolisch y’(t) = k · y 2  (t) y(t) = ​  a _  1 – akt ​ begrenzt y’(t) = k · [G – y(t)] y(t) = G – (G – a) · e ‒kt logistisch y’(t) = k · y(t) · [G – y(t)] y(t) = ​  a · G __   a + (G – a) · e ‒Gkt ​ periodisch y’’(t) = ‒ ω 2  · y(t) y(t) = c · sin( ω t + φ ) y x 0 x 1 x 2 x 3 x 0 t f(x 0 ) f(x 1 ) x 1 dy dx x 0 P Q f x= y ∆ ∆ y Differential- und Integralrechnung 30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv